누구든지 서로 독립적 으로 로 분포 된 두 개의 가우스 랜덤 벡터의 내부 곱의 모멘트 생성 함수를 계산하는 방법을 제안 할 수 있습니까 ? 이에 대한 표준 결과가 있습니까? 모든 포인터는 높이 평가됩니다.
답변
먼저 사례를 살펴 보겠습니다 . 마지막에 임의의 대한 (쉬운) 일반화가 있습니다.
내부 생성물이 iid 변수의 합임을 관찰하는 것으로 시작하십시오. 각 변수는 두 개의 독립적 인 Normal 변이의 곱이므로, 후자의 mgf를 찾는 질문을 줄입니다. mgfs의 생성물.
mgf는 통합을 통해 찾을 수 있지만 더 쉬운 방법이 있습니다. 때 와 일반 표준,
두 독립 척도 카이 제곱 변수의 차이입니다. (스케일 팩터는 (가)의 편차를하기 때문에 와 동일한 .) 카이 제곱 변량의 MGF이므로 은 MGF 의 인 과의 MGF 이고 . 곱하면 원하는 mgf가 .
(나중에 참조 통지하는 경우에 및 로 재 스케일링된다 에 의해 그들의 제품 비늘 , 어디서 로 확장한다 도).
이것은 친숙해 보일 것입니다 : 일정한 상수와 부호까지 자유도 를 갖는 Student t 분포 의 확률 밀도 처럼 보입니다 . (실제로 mgfs 대신 특성 함수 로 작업 했다면 얻습니다 . 이는 Student t PDF에 훨씬 더 가깝습니다.) dfs를 가진 학생 t로서 -중요한 것은 mgf가 근처에서 분석되어야한다는 것입니다. 이것은 분명히 (이항 정리에 의해)입니다.
이들의 내적의 분포가 가우시안 IID 바로 다음 것을 -vectors은 MGF는 동일 갖는 이 MGF의 제품 -fold
으로 찾는 학생의 t 분포의 특성 기능을, 우리는 PDF 자체에 의해 제공됩니다 (정규화 상수를 찾기 위해 대수의 작은 비트 또는 통합) 추론
( 는 베셀 함수입니다).
예를 들어, 다음은 및 내부 제품과 같은 의 임의 샘플의 히스토그램에 중첩 된 PDF의 플롯입니다 .
시뮬레이션에서 mgf의 정확도를 확인하기는 어렵지만 (이항 정리에서)
우리는 순간을 (계승으로 나눈) 읽을 수 있습니다. 에 대한 대칭으로 인해 짝수 모멘트 만 중요합니다. 들면 우리는 다음의 값을 구하여,이 시뮬레이션의 원료 순간 비교한다 :
k mgf simulation/k!
2 0.09375 0.09424920
4 0.00732422 0.00740436
6 0.00053406 0.00054128
8 0.00003755 0.00003674
10 2.58 e-6 2.17 e-6
예상대로, 시뮬레이션의 높은 모멘트는 mgf에 의해 주어진 모멘트에서 벗어나기 시작할 것입니다. 그러나 적어도 열 번째 순간까지는 훌륭한 동의가 있습니다.
또한, 일 때 분포는 이중 지수이다.
일반적인 경우를 처리하려면 먼저 내부 제품이 좌표 독립적 인 객체라는 점에 유의하십시오. 따라서 의 주요 방향 (고유 벡터)을 좌표로 사용할 수 있습니다. 이 좌표에서 내부 곱은 독립 정규 변량 의 독립 곱의 합이며 , 각 성분은 관련 고유 값과 동일한 분산으로 분포됩니다. 따라서 0이 아닌 고유 값을 ( )로 설정하면 mgf는
이 추론에서 오류가 없음을 확인하기 위해 가 행렬 인 예제를 작성했습니다.
고유 값이
특성 함수의 푸리에 변환을 수치 적으로 평가하여 PDF를 계산할 수있었습니다 (여기서 제공된 mgf 공식에서 파생 됨).이 PDF의 플롯은 다음 그림에서 빨간색 선으로 표시됩니다. 동시에, 나는 정규 분포 에서 iid 변이체 를 생성 하고 다른 iid 변이체 를 같은 방식으로 생성하고 내적 계산했습니다 . 플롯은 이러한 내적 제품의 히스토그램을 보여줍니다 (가장 극단적 인 값은 생략 함-범위는 ~ ).
이전과 마찬가지로 계약이 우수합니다. 또한, 순간은 8 시까 지, 10시에서도 합리적으로 잘 일치합니다.
k mgf simulation/k!
2 1.45313 1.45208
4 2.59009 2.59605
6 5.20824 5.29333
8 11.0994 11.3115
10 24.4166 22.9982
추가
(2013 년 8 월 9 일 추가됨)
는 원래 “혼합 밀도가 감마 분포 인 정규 분산 평균 혼합물”로 정의 된 분산 감마 분포 의 인스턴스입니다 . 표준 위치 ( ), 비대칭 매개 변수 (대칭), 스케일 매개 변수 및 모양 매개 변수 (위키 백과 매개 변수화에 따라)가 있습니다.