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두 개의 독립 정규 분포의 비율은 Cauchy 분포를 제공합니다. t- 분포는 정규 분포를 독립 카이 제곱 분포로 나눈 값입니다. 두 개의 독립 카이 제곱 분포의 비율은 F- 분포를 제공합니다.

평균 및 분산 로 정규 분포 확률 변수를 제공하는 독립 연속 분포 의 비율을 찾고 있습니까? $μ$

μ

$\mu$ $σ^{2}$

σ^{2}

$\sigma^2$

아마도 가능한 대답이 무한히있을 것입니다. 가능한 답변을 몇 개 줄 수 있습니까? 비율이 계산되는 두 개의 독립적 인 분포가 동일하거나 적어도 유사한 분산을 갖는 경우 특히 감사하겠습니다.

답변

하자. 여기서 에는 평균 확률이 이고 확률 분포가 같은 지수 분포가 있습니다. 하자 여기서 . 가 서로 독립적 이라고 가정하면 은 및 와 독립적입니다 . 따라서 우리는 $Y_{1} = Z \sqrt{E}$

Y_{1} = Z \sqrt{E}

$Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$

E

$E$ $2 σ^{2}$

2 σ^{2}

$2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$

Z = \pm 1

$Z = \pm 1$ $Y_{2} = 1 / \sqrt{B}$

Y_{2} = 1 / \sqrt{B}

$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim Beta (0.5, 0.5)$

B \sim Beta (0.5, 0.5)

$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$

(Z, E, B)

$(Z, E, B)$ $Y_{1}$

Y_{1}

$Y_1$ $Y_{2}$

Y_{2}

$Y_2$ $Y_{1} / Y_{2} \sim Normal (0, σ^{2})$

Y_{1} / Y_{2} \sim Normal (0, σ^{2})

$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

$Y_{1}$
둘 다 연속; 그런
$Y_{1} / Y_{2} \sim Normal (0, σ^{2})$

얻는 방법을 알지 못했습니다 . 문제 가 과 같이 독립적 인
와 를 찾는 것으로 줄어들 기 때문에이 작업을 수행하는 방법을보기가 더 어렵
습니다. 독립 및 대해 을 만드는 것보다 조금 어렵습니다 . $Normal (μ, σ^{2})$

Normal (μ, σ^{2})

$\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$

A

$A$ $B$

B

$B$

\frac{A - B μ}{B} \sim Normal (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$ $A / B \sim Normal (0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$ $A$

A

$A$ $B$

B

$B$

답변

비율이 계산되는 두 개의 독립적 인 분포가 동일한 경우 특히 감사하겠습니다.

정규 변수가 동일한 분포 또는 분포 패밀리를 갖는 두 개의 독립 변수의 비율로 기록 될 수있는 가능성 은 없습니다 (예 : 두 척도 분포 변수 또는 Cauchy- 분포 의 비율 인 F- 분포). 평균이 0 인 두 정규 분포 변수의 비율입니다. $χ^{2}$

χ^{2}

$\chi^2$

그 가정 : 모두에 대해 여기서 동일한 분배 또는 배포 가족은 우리가 $A, B \sim F$
$A, B \sim F$
$A, B \sim F$ $F$
$F$
$F$
$X = \frac{A}{B} \sim N (μ, σ^{2})$
$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
또한 와 를 역전시킬 수 있어야합니다 (정규 변수가 동일한 분포 또는 분포 패밀리를 가진 두 개의 독립 변수의 비율로 쓰여질 수 있다면 순서가 역전 될 수 있습니다) $A$
$A$
$A$ $B$
$B$
$B$
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N (μ, σ^{2})$
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
그러나 이면 는 사실이 될 수 없습니다 (정규 분포 변수의 역은 다른 법선 이 아닙니다) 분산 변수). $X \sim N (μ, σ^{2})$

더 넓은 결론 : 모든 배포 패밀리 의 변수를 다른 배포 패밀리 의 변수 비율로 쓸 수 있으면 패밀리 가 역수 (즉, 분포가 에있는 변수 의 경우 역수 분포는 ). $F_{X}$

F_{X}

$\mathcal{F}_X$ $F_{Y}$

F_{Y}

$\mathcal{F}_Y$ $F_{X}$

F_{X}

$\mathcal{F}_X$ $F_{X}$

F_{X}

$\mathcal{F}_X$ $F_{X}$

F_{X}

$\mathcal{F}_X$

예를 들어 코시 분포 변수의 역수는 코시 분포입니다. F- 분산 변수의 역함수도 F- 분포됩니다.

이 ‘if’가 ‘iff’가 아닌 경우 대화는 사실이 아닙니다. 되면 및 후 항상 동일한 분포에게서 추천자 및 분모의 비율 분포로 기록 할 수없는 경우가 있습니다 동일한 분포 가정에있다. $X$
$X$
$X$ $1 / X$
$1 / X$
$1/X$

반례 : 우리는 어떤에있는 분배 가족 상상할 수있는 우리가 가지고있는 가족 의 같은 가족을하지만 우리는이없는 . 이것은 분모와 노미 네이가 같은 분포를 갖는 비율 분포에 대해 가져야한다는 사실과 상반됩니다 X / 라인을 따라 적분과 같은 연속 분포에 대해 비슷한 것을 표현할 수 있음) X의 산점도에서 Y = 1, X와 Y의 분포가 동일하고 독립적 인 경우 Y는 밀도가 0이 아닙니다. $X$
$X$
$X$ $1 / X$
$1 / X$
$1/X$ $P (X = 1) = 0$
$P (X = 1) = 0$
$P(X=1)=0$ $P (X = 1) \neq 0$
$P (X = 1) \neq 0$
$P(X=1) \neq 0$

답변

글쎄, 여기에 하나가 있지만 그것을 증명하지는 않고 시뮬레이션에서만 보여줍니다.

동일한 대형 모양 매개 변수 (여기서 )를 사용 하여 두 개의 베타 분포를 만들고 그 중 하나의 값에서 1/2을 빼고 “분자”라고합니다. 그러면 최대 범위가 인 PDF를 얻을 수 있지만 모양 매개 변수가 너무 커서 결코 얻을 수 없습니다 범위의 최대 값까지 다음은 “분자”
의 히스토그램입니다. $Beta (200, 200)$

Beta (200, 200)

$\text{Beta}(200,200)$ $n = 40, 000$

n = 40, 000

$n=40,000$ $x$

x

$x$ $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

$\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n = 40, 000$

n = 40, 000

$n=40,000$

다음으로, 우리는 두 번째 베타 배포를 “분모”라고 부르고 아무것도 빼지 않고 일반적인 베타 배포 범위는 이며 그 중 하나는 다음과 같습니다 $(0, 1)$

(0, 1)

$(0,1)$

다시 말하지만, 모양이 너무 크기 때문에 값으로 최대 범위에 접근하지 않습니다. 다음으로 몫 를 중첩 정규 분포를 사용하여 PDF로 플로팅합니다 . $\frac{numerator}{denominator}$

\frac{numerator}{denominator}

$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

이 경우 정규 분포 결과는 이며 다음과 같은 정규성을 테스트합니다. $μ \to - 0.0000204825, σ \to 0.0501789$

μ \to - 0.0000204825, σ \to 0.0501789

$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.799786 & 0.481181 \\ Baringhaus-Henze & 1.40585 & 0.0852017 \\ Cramér-von Mises & 0.123145 & 0.482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00452328 & 0.386335 \\ Kuiper & 0.00798063 & 0.109127 \\ Mardia Combined & 4.48103 & 0.106404 \\ Mardia Kurtosis & 1.53849 & 0.123929 \\ Mardia Skewness & 2.09399 & 0.147879 \\ Pearson χ^{2} & 134.353 & 0.571925 \\ Watson U^{2} & 0.113831 & 0.211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

다시 말해, 우리는 그 비율이 매우 힘들다고하더라도 그 비율이 정상적이지 않다는 것을 증명할 수는 없습니다.

왜? 과잉으로 내 직관. 존재하는 경우 증거를 남겼습니다 (모멘트 방법의 한계를 통해 가능하지만 다시 직관입니다).

$Beta (20, 20)$

Beta (20, 20)

$\text{Beta}(20,20)$ $Beta (20, 20) - \frac{1}{2}$

Beta (20, 20) - \frac{1}{2}

$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$

t

$t$ $μ \to - 0.000251208, σ \to 0.157665, df \to 33.0402$

μ \to - 0.000251208, σ \to 0.157665, df \to 33.0402

$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.275262 & 0.955502 \\ Cramér-von Mises & 0.0351108 & 0.956524 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00320936 & 0.804486 \\ Kuiper & 0.00556501 & 0.657146 \\ Pearson χ^{2} & 145.077 & 0.323168 \\ Watson U^{2} & 0.0351042 & 0.878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

또 다른 힌트 Student ‘s $\frac{N (0, 1)}{N (10, 1 / 1000)} \to$

\frac{N (0, 1)}{N (10, 1 / 1000)} \to

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$

t

$t$ $μ \to - 0.0000535722, σ \to 0.0992765, df \to 244.154$

μ \to - 0.0000535722, σ \to 0.0992765, df \to 244.154

$\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.501677 & 0.745102 \\ Cramér-von Mises & 0.0696824 & 0.753515 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00355688 & 0.692225 \\ Kuiper & 0.00608382 & 0.501133 \\ Pearson χ^{2} & 142.88 & 0.370552 \\ Watson U^{2} & 0.0603207 & 0.590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

답변

많은 가능성이 있다고 생각합니다. 여기 제가 생각할 수있는 것이 있습니다. 두 개의 표준 정규 분포 rv가 있고 에 Cauchy Distributed rv
것으로 알려져 있습니다 (Zolotarev). $X_{1}^{G}, X_{2}^{G}$

X_{1}^{G}, X_{2}^{G}

$X_1^G,X_2^G$ $X_{γ}^{C}$

X_{γ}^{C}

$X^C_{\gamma}$

\frac{X_{1}^{G}}{X_{2}^{G}} = X_{γ}^{C}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

그런 다음 안정 분포의 이중성으로 (여기서 는 Cauchy의 스케일 매개 변수 임)를 알 수 있습니다. 따라서 정규 분포는 정규 분포와 코시 비율 사이의 결과 일 수 있습니다.
$X_{γ}^{C} \sim 1 / X_{1 / γ}^{C}$

X_{γ}^{C} \sim 1 / X_{1 / γ}^{C}

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $γ$

γ

$\gamma$

X_{1}^{G} = X_{2}^{G} / X_{1 / γ}^{C}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

원하는 나는 두 분포를 중심으로 이동시킵니다. ( ). 들어 , 비 분포에 대해 언급 된 위키 페이지의 두 개의 정규 분포의 비율은 화학식이있는 경우는 그 역수 값 코시의 스케일 팩터를 교체해야 할 것이다 ( ). $μ$

μ

$\mu$ $μ$

μ

$\mu$ $σ$

σ

$\sigma$ $γ \to 1 / γ$

γ \to 1 / γ

$\gamma\rightarrow1/\gamma$

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