Halmos에-야만인 정리 라고하는 지배적 통계 모델 통계 모든 에 대해 측정 가능 버전의 Radon Nikodym 유도체 가있는 경우 이면 충분합니다. 여기서 는 대해 및 와 같은 특권 측정 . $(Ω, A, P)$

(Ω,A,P)

$T : (Ω, A, P) \to (Ω^{'}, A^{'})$

T:(Ω,A,P)→(Ω′,A′)

${P \in P}$

{P∈P}

$T$

$\frac{d P}{d P *}$

dPdP∗

$d P *$

dP∗

$P * = \sum_{i = 1}^{\infty} P_{i} c_{i}$

P∗=∑i=1∞Pici

$c_{i} > 0, \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} = 1$

ci>0,∑i=1∞ci=1

$P_{i} \in P$

Pi∈P

나는 왜 정리가 참인지 직관적으로 파악하려고 노력했지만 성공하지 못했기 때문에 내 질문은 정리를 이해하는 직관적 인 방법이 있는지 여부입니다.

답변

기술적 인 정리

이것이 얼마나 직관적인지 확실하지 않지만 Halmos-Savage Theorem에 대한 진술의 기본 기술적 결과는 다음과 같습니다.

렘마
하자 수 에 -finite 계수 . 가 모든 , 에 대해 에 대한 측정 모음 이라고 가정하십시오 . 이어서 비음 수들의 시퀀스가 존재 및 요소들의 시퀀스 , 되도록 및 마다 . $μ$
μ
$σ$
σ
$(S, A)$
(S,A)
$ℵ$
ℵ
$(S, A)$
(S,A)
$ν \in ℵ$
ν∈ℵ
$ν ≪ μ$
ν≪μ
${c_{i}}_{i = 1}^{\infty}$
{ci}i=1∞
$ℵ$
ℵ
${ν_{i}}_{i = 1}^{\infty}$
{νi}i=1∞
$\sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} = 1$
∑i=1∞ci=1
$ν ≪ \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} ν_{i}$
ν≪∑i=1∞ciνi
$ν \in ℵ$
ν∈ℵ

이것은 Schervish ‘s Statistics Theory of Statistics (1995) 의 정리 A.78에서 그대로 사용됩니다 . 그 결과 그는 그것을 Lehmann ‘s Testing Statistical Hypotheses (1986) ( 제 3 판에 링크 )에서 기인했으며, 그 결과는 Halmos와 Savage 자체에 기인 한다 (Lemma 7 참조). 또 다른 좋은 참고 자료는 Shao의 수학적 통계 (2003 년 제 2 판) 이며, 관련 결과는 Lemma 2.1 및 Theorem 2.2입니다.

위의 정리는 finite 측정에 의해 지배되는 측정 패밀리로 시작하면 실제로 지배적 인 측정을 패밀리 내에서 셀 수있는 볼록한 측정 조합으로 대체 할 수 있다고 말합니다. 셰르 비쉬는 정리 A.78을 말하기 전에 글을 쓴다. $σ$

“통계 응용 프로그램에는 종종 단일 -finite 측정 과 관련하여 절대적으로 연속적인 측정 클래스 가 있습니다. 단일 지배 측정이 원래 클래스에 있거나 다음에서 구성 될 수 있다면 좋을 것입니다. 다음 정리에서이 문제를 해결했습니다. “ $σ$
σ

구체적인 예

알 수없는 대해 간격으로 균일하게 분포되어 있다고 생각되는 수량 를 측정한다고 가정 합니다. 이 통계적 문제에서, 우리는 형식의 모든 구간에서 균일 한 분포로 구성된 에 대한 Borel 확률 측정의 설정을 암시 적으로 고려합니다 . 즉, Lebesgue 측정 값을 나타내고 경우 는 분포 (즉,
$X$

$[0, θ]$

[0,θ]

$θ > 0$

θ>0

$P$

$R$

$[0, θ]$

[0,θ]

$λ$

$θ > 0$

θ>0

$P_{θ}$

Pθ

$Uniform ([0, θ])$

Uniform⁡([0,θ])

P θ (A) = 1 θ λ (A \cap [0, θ]) = \int A 1 θ 1 [0, θ] (x) d x

모든 Borel 대해 이면

이것은 측정 대한 후보 분포 세트입니다 . $A \subseteq R$

A⊆R

P = {P θ : θ > 0} .

$X$

패밀리 는 Lebesgue 측정 값 ( -finite 임)에 의해 지배 되므로 위의 정리 ( )는 시퀀스의 존재를 보장합니다 에 합산 비음 번호 및 서열 균일 분포 되도록

각 . 이 예제에서는 이러한 시퀀스를 명시 적으로 구성 할 수 있습니다! $P$

$λ$

$σ$

$ℵ = P$

ℵ=P

${c_{i}}_{i = 1}^{\infty}$

{ci}i=1∞

$1$

${Q_{i}}_{i = 1}^{\infty}$

{Qi}i=1∞

$P$

P θ ≪ \sum i = 1 \infty c i Q i

$θ > 0$

θ>0

먼저 양의 유리수의 열거 형으로 지정하고 ( 명시 적으로 수행 할 수 있음 ) 각 에 대해 로 설정하십시오 . 다음으로 로 설정하여 합니다. 와 조합이 작동한다고 주장 합니다. $(θ_{i})_{i = 1}^{\infty}$

(θi)i=1∞

$Q_{i} = P_{θ_{i}}$

Qi=Pθi

$i$

$c_{i} = 2^{- i}$

ci=2−i

$\sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} = 1$

∑i=1∞ci=1

${c_{i}}_{i = 1}^{\infty}$

{ci}i=1∞

${Q_{i}}_{i = 1}^{\infty}$

{Qi}i=1∞

이를 확인하려면 수정 하고 를 이되도록 의 Borel 하위 세트로 . 임을 보여 주어야합니다 . 이후 및 피가수 각이 음수가 아닌, 그것은 그 다음된다 각각 . 또한, 각 가 양수이므로, 각각의 에 대해 을 따릅니다 . 즉, 모든 우리가

각 버젼을 $θ > 0$

θ>0

$A$

$R$

$\sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} Q_{i} (A) = 0$

∑i=1∞ciQi(A)=0

$P_{θ} (A) = 0$

Pθ(A)=0

$\sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} Q_{i} (A) = 0$

∑i=1∞ciQi(A)=0

$c_{i} Q_{i} (A) = 0$

ciQi(A)=0

$i$

$c_{i}$

$Q_{i} (A) = 0$

Qi(A)=0

$i$

Q i (A) = P θ i (A) = 1 θ i λ (A \cap [0, θ i]) = 0.

$θ_{i}$

θi

양수이면 각 에 대해 을 따릅니다 . $λ (A \cap [0, θ_{i}]) = 0$

λ(A∩[0,θi])=0

$i$

이제 하위 시퀀스 의 를 선택 하여 위에서 로 수렴합니다 (이 작업을 수행 할 수 있음) 이후 이다 조밀에서 ). 그런 다음 를 로 측정의 연속성을 통해

이므로 입니다. 이것은 주장을 증명합니다. ${θ_{i_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$

{θik}k=1∞

${θ_{i}}_{i = 1}^{\infty}$

{θi}i=1∞

$θ$

$Q$

$R$

$A \cap [0, θ_{θ_{i_{k}}}] ↓ A \cap [0, θ]$

A∩[0,θθik]↓A∩[0,θ]

$k \to \infty$

k→∞

λ (A \cap [0, θ]) = lim k \to \infty λ (A \cap [0, θ i k]) = 0,

$P_{θ} (A) = 0$

Pθ(A)=0

따라서,이 예에서 우리는 여전히 전체 가족을 지배하는 지배적 인 가족으로부터 확률 측정의 계산 가능한 볼록한 조합을 명시 적으로 구성 할 수있었습니다. 위의 Lemma 는 모든 지배 가족에 대해 (최소한 지배 조치가 -finite 인 한) 수행 될 수 있음을 보증 합니다 . $σ$

할 모사 비지 정리

이제 Halmos-Savage Theorem (개인 취향으로 인해 질문에서 약간 다른 표기법을 사용합니다)으로 넘어갑니다. Halmos-Savage 정리를 감안할 때 Fisher-Neyman 인수 분해 정리는 Doob-Dynkin 보조 정리와 Radon-Nikodym 파생 상품에 대한 연쇄 규칙의 하나의 적용에 불과합니다!

할 모사 비지 정리.
하자 것을 의미 지배 통계 모델 (BE 의 가능성을 측정의 세트이다 와 거기를 -finite 측정 에 이되도록 모든 ). 하자 수 측정 가능한 함수 이며 표준 보렐 우주. 그런 다음 다음과 같습니다. $(X, B, P)$
(X,B,P)
$P$
P
$B$
B
$σ$
σ
$μ$
μ
$B$
B
$P ≪ μ$
P≪μ
$P \in P$
P∈P
$T : (X, B) \to (T, C)$
T:(X,B)→(T,C)
$(T, C)$
(T,C)

$T$ 충분 확률 커널이 있다는 의미 ( 되도록 버전이다 모든 및 대한 ). $P$ $r : B \times T \to [0, 1]$ $r (B, T)$ $P (B ∣ T)$ $B \in B$ $P \in P$

서열이 존재 음이 아닌 숫자를되도록 및 서열 의 확률 대책 되도록 모든 여기서, 및 각 대해 측정 가능한 버전이 있습니다. ${c_{i}}_{i = 1}^{\infty}$ $\sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} = 1$ ${P_{i}}_{i = 1}^{\infty}$ $P$ $P ≪ P^{*}$ $P \in P$ $P^{*} = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} P_{i}$ $P \in P$ $T$ $d P / d P^{*}$

증명.
위의 정리로, 우리는 즉시 를 로 대체 할 수 있습니다. 일부 시퀀스 는 음수가 아닌 숫자의 및 서열 의 확률 대책 . $μ$

$P^{*} = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} P_{i}$

P∗=∑i=1∞ciPi

${c_{i}}_{i = 1}^{\infty}$

{ci}i=1∞

$\sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} = 1$

∑i=1∞ci=1

${P_{i}}_{i = 1}^{\infty}$

{Pi}i=1∞

$P$

가 충분하다고 가정하자 . 그런 다음 모든 대해 측정 가능한 버전 이 있음을 보여 주어야합니다 . 정리의 설명에서 확률 커널 이라고하자 . 각 및 대해

따라서 는 모든 대한 의 버전입니다 . $T$

$T$

$d P / d P^{*}$

dP/dP∗

$P \in P$

P∈P

$r$

$A \in σ (T)$

A∈σ(T)

$B \in B$

B∈B

P * (A \cap B) = \sum i = 1 \infty c i P i (A \cap B) = \sum i = 1 \infty c i \int A P i (B ∣ T) d P i = \sum i = 1 \infty c i \int A r (B, T) d P i = \int A r (B, T) d P * .

$r (B, T)$

r(B,T)

$P^{*} (B ∣ T)$

P∗(B∣T)

$B \in B$

B∈B

각 에 대해 는 측정 가능한 공간 의 라돈-니코 딤 파생물 의 버전을 나타냅니다 (특히 는 측정 가능). 모든 및 대해

따라서 실제로 는 $P \in P$

P∈P

$f_{P}$

$d P / d P^{*}$

dP/dP∗

$(X, σ (T))$

(X,σ(T))

$f_{P}$

$T$

$B \in B$

B∈B

$P \in P$

P∈P

P (B) = \int X P (B ∣ T) d P = \int X r (B, T) d P = \int X r (B, T) f P d P * = \int X P * (B ∣ T) f P d P * = \int X E P * [1 B f P ∣ T] d P * = \int B f P d P * .

$f_{P}$

$T$

-measurable 버전의 에 . 이것은 정리의 첫 번째 조건이 두 번째 조건을 의미 함을 증명합니다. $d P / d P^{*}$

dP/dP∗

$(X, B)$

(X,B)

하나는 선택할 수있는 가정 (2. 1을 의미) -measurable 버전 의 각 . 각 에 대해 는 의 특정 버전을 나타냅니다 (예 : 는 는 는 ) 의 버전입니다 . 이후 표준 보렐 공간이, 우리가 선택할 수 있습니다 그 확률 커널을 만드는 방법 (참조, 예를 들어, Schervish의에서 정리 B.32 통계의 이론 (1995)). 우리는 $T$

$f_{P}$

$d P / d P^{*}$

dP/dP∗

$P \in P$

P∈P

$B \in B$

B∈B

$r (B, t)$

r(B,t)

$P^{*} (B ∣ T = t)$

P∗(B∣T=t)

$r (B, t)$

r(B,t)

$r (B, T)$

r(B,T)

$P^{*} (B ∣ T)$

P∗(B∣T)

$(T, C)$

(T,C)

$r$

$r (B, T)$

r(B,T)

및 대한 의 버전입니다 . 따라서 및 를 지정하십시오. 모든 대해

이것은 가 및 대한 의 버전이며 증명은 다음과 같습니다. 끝난. $P (B ∣ T)$

P(B∣T)

$P \in P$

P∈P

$B \in B$

B∈B

$A \in σ (T)$

A∈σ(T)

$B \in B$

B∈B

$P \in P$

P∈P

P (A \cap B) = \int A 1 B f P d P * = \int A E P * [1 B f P ∣ T] d P * = \int A P * (B ∣ T) f P d P * = \int A r (B, T) f P d P * = \int A r (B, T) d P .

$r (B, T)$

r(B,T)

$P (B ∣ T)$

P(B∣T)

$P \in P$

P∈P

$B \in B$

B∈B

요약.
여기에 제시된 Halmos-Savage 정리의 기초가되는 중요한 기술적 결과는 지배적 인 확률 측정 패밀리가 실제로 해당 패밀리의 확률 측정의 계산 가능한 볼록한 조합에 의해 지배된다는 사실입니다. 그 결과, Halmos-Savage 정리의 나머지 부분은 대부분 Radon-Nikodym 파생 상품의 기본 속성과 조건부 기대를 사용한 조작입니다.

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Halmos-Savage 정리에 대한 직관적 이해 \mathscr A, \mathscr P)T:(Ω,A,P)→(Ω′,A′)T:(Ω,A,P)→(Ω′,A′)T: (\Omega, \mathscr A,

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기술적 인 정리

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