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누구든지 서로 독립적 으로 로 분포 된 두 개의 가우스 랜덤 벡터의 내부 곱의 모멘트 생성 함수를 계산하는 방법을 제안 할 수 있습니까 ? 이에 대한 표준 결과가 있습니까? 모든 포인터는 높이 평가됩니다. $N (0, σ^{2})$

N(0,σ2)

답변

먼저 사례를 살펴 보겠습니다 . 마지막에 임의의 대한 (쉬운) 일반화가 있습니다. $Σ = σ I$

Σ=σI

$Σ$

내부 생성물이 iid 변수의 합임을 관찰하는 것으로 시작하십시오. 각 변수는 두 개의 독립적 인 Normal 변이의 곱이므로, 후자의 mgf를 찾는 질문을 줄입니다. mgfs의 생성물. $(0, σ)$

(0,σ)

mgf는 통합을 통해 찾을 수 있지만 더 쉬운 방법이 있습니다. 때 와 일반 표준, $X$

$Y$

엑스 와이 = ((X + Y) / 2) 2 - ((X - Y) / 2) 2

두 독립 척도 카이 제곱 변수의 차이입니다. (스케일 팩터는 (가)의 편차를하기 때문에 와 동일한 .) 카이 제곱 변량의 MGF이므로 은 MGF 의 인 과의 MGF 이고 . 곱하면 원하는 mgf가 . $1 / 2$

1/2

$(X \pm Y) / 2$

(X±Y)/2

$1 / 2$

1/2

$1 / \sqrt{1 - 2 ω}$

1/1−2ω

$((X + Y) / 2)^{2}$

((X+Y)/2)2

$1 / \sqrt{1 - ω}$

1/1−ω

$- ((X - Y) / 2)^{2}$

−((X−Y)/2)2

$1 / \sqrt{1 + ω}$

1/1+ω

$1 / \sqrt{1 - ω^{2}}$

1/1−ω2

(나중에 참조 통지하는 경우에 및 로 재 스케일링된다 에 의해 그들의 제품 비늘 , 어디서 로 확장한다 도). $X$

$Y$

$σ$

$σ^{2}$

σ2

$ω$

$σ^{2}$

σ2

이것은 친숙해 보일 것입니다 : 일정한 상수와 부호까지 자유도 를 갖는 Student t 분포 의 확률 밀도 처럼 보입니다 . (실제로 mgfs 대신 특성 함수 로 작업 했다면 얻습니다 . 이는 Student t PDF에 훨씬 더 가깝습니다.) dfs를 가진 학생 t로서 -중요한 것은 mgf가 근처에서 분석되어야한다는 것입니다. 이것은 분명히 (이항 정리에 의해)입니다. $0$

$1 / \sqrt{1 + ω^{2}}$

1/1+ω2

$0$

이들의 내적의 분포가 가우시안 IID 바로 다음 것을 -vectors은 MGF는 동일 갖는 이 MGF의 제품 -fold $n$

$n$

(1 - ω 2 σ 4) - n / 2, N = 1, 2, \dots .

으로 찾는 학생의 t 분포의 특성 기능을, 우리는 PDF 자체에 의해 제공됩니다 (정규화 상수를 찾기 위해 대수의 작은 비트 또는 통합) 추론

에프 n, σ (x) = 2 1 - n 2 | 엑스 | n - 1 2 케이 n - 1 2 ( | x | σ 2 ) π - - \sqrt σ 4 Γ ( 엔 2 )

( 는 베셀 함수입니다). $K$

예를 들어, 다음은 및 내부 제품과 같은 의 임의 샘플의 히스토그램에 중첩 된 PDF의 플롯입니다 . $10^{5}$

105

$σ = 1 / 2$

σ=1/2

$n = 3$

n=3

시뮬레이션에서 mgf의 정확도를 확인하기는 어렵지만 (이항 정리에서)

(1 + 티 2 σ 4) - 3 / 2 = 1 - 삼 σ 4 티 2 2 + 15 σ 8 티 4 8 - 35 σ 12 티 6 16 + 315 σ 16 티 8 128 + \dots,

우리는 순간을 (계승으로 나눈) 읽을 수 있습니다. 에 대한 대칭으로 인해 짝수 모멘트 만 중요합니다. 들면 우리는 다음의 값을 구하여,이 시뮬레이션의 원료 순간 비교한다 : $0$

$σ = 1 / 2$

σ=1/2

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

예상대로, 시뮬레이션의 높은 모멘트는 mgf에 의해 주어진 모멘트에서 벗어나기 시작할 것입니다. 그러나 적어도 열 번째 순간까지는 훌륭한 동의가 있습니다.

또한, 일 때 분포는 이중 지수이다. $n = 2$

n=2

일반적인 경우를 처리하려면 먼저 내부 제품이 좌표 독립적 인 객체라는 점에 유의하십시오. 따라서 의 주요 방향 (고유 벡터)을 좌표로 사용할 수 있습니다. 이 좌표에서 내부 곱은 독립 정규 변량 의 독립 곱의 합이며 , 각 성분은 관련 고유 값과 동일한 분산으로 분포됩니다. 따라서 0이 아닌 고유 값을 ( )로 설정하면 mgf는 $Σ$

$σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, \dots, σ_{d}^{2}$

σ12,σ22,…,σd2

$0 \leq d \leq n$

0≤d≤n

(\prod 나는 = 1 디 (1 - ω 2 σ 4 나는)) - (1) / 2 .

이 추론에서 오류가 없음을 확인하기 위해 가 행렬 인 예제를 작성했습니다. $Σ$

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 1 1 2 - 1 8 1 2 1 - 1 4 - 1 8 - 1 4 1 2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

고유 값이

(σ 21, σ 22, σ 2 삼) = (1 16 (17 + 65 - - \sqrt), 1 16 (17 - 65 - - \sqrt), 삼 8) \approx (1.56639, 0.558609, 0.375) .

특성 함수의 푸리에 변환을 수치 적으로 평가하여 PDF를 계산할 수있었습니다 (여기서 제공된 mgf 공식에서 파생 됨).이 PDF의 플롯은 다음 그림에서 빨간색 선으로 표시됩니다. 동시에, 나는 정규 분포 에서 iid 변이체 를 생성 하고 다른 iid 변이체 를 같은 방식으로 생성하고 내적 계산했습니다 . 플롯은 이러한 내적 제품의 히스토그램을 보여줍니다 (가장 극단적 인 값은 생략 함-범위는 ~ ). $10^{6}$

106

$X_{i}$

엑스나는

$(0, Σ)$

(0,Σ)

$10^{6}$

106

$Y_{i}$

와이나는

$10^{6}$

106

$X_{i} \cdot Y_{i}$

엑스나는⋅와이나는

$- 12$

−12

$15$

이전과 마찬가지로 계약이 우수합니다. 또한, 순간은 8 시까 지, 10시에서도 합리적으로 잘 일치합니다.

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

추가

(2013 년 8 월 9 일 추가됨)

$f_{n, σ}$

에프엔,σ

는 원래 “혼합 밀도가 감마 분포 인 정규 분산 평균 혼합물”로 정의 된 분산 감마 분포 의 인스턴스입니다 . 표준 위치 ( ), 비대칭 매개 변수 (대칭), 스케일 매개 변수 및 모양 매개 변수 (위키 백과 매개 변수화에 따라)가 있습니다. $0$

$0$

$σ^{2}$

σ2

$n / 2$

엔/2

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