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글쎄, 우리는 예를 들어 https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence 를 참조 하여 흥미로운 반례를 볼 수는 없습니다 . 그러나 실제 질문은 : 독립을 따르도록 조건을 강화할 방법이 있습니까? 예를 들어, 함수 집합 이 $g_{1}, \dots, g_{n}$

g1,…,gn

그래서 모든 대해 이면 독립성이 뒤 따릅니다. 그리고 그러한 일련의 함수는 얼마나 커야합니까? $E g_{i} (X) g_{j} (Y) = E g_{i} (X) E g_{j} (Y)$

E⁡gi(X)gj(Y)=E⁡gi(X)E⁡gj(Y)

$i, j$

i,j

또한이 질문을 다루는 좋은 참고 자료가 있습니까?

답변

하자 확률 공간합니다. 정의에 따라 두 개의 임의 변수 은 -algebras 와 가 독립적 인 경우 독립적입니다. 즉 에는 있습니다. $(Ω, F, P)$

(Ω,F,P)

$X, Y : Ω \to R$

X,Y:Ω→R

$σ$

$S_{X} := σ (X)$

SX:=σ(X)

$S_{Y} := σ (Y)$

SY:=σ(Y)

$\forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}$

∀A∈SX,B∈SY

$P (A \cap B) = P (A) P (B)$

P(A∩B)=P(A)P(B)

하자 및 걸릴 (지적에 대해 @grand_chat, 감사 충분하다). 그런 다음

및
$g_{a} (x) = I (x \leq a)$

ga(x)=I(x≤a)

$G = {g_{a} : a \in Q}$

G={ga:a∈Q}

$Q$

E (g a (X) g b (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

E (g a (X)) E (g b (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

우리가 가정하면 그
우리가 관심을 끌 수 정리 는

즉 입니다. $\forall a, b \in Q$

∀a,b∈Q

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$π - λ$

π−λ

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S X, B \in S Y

$X ⊥ Y$

X⊥Y

따라서 실수를하지 않으면 적어도 그러한 함수의 셀 수있는 컬렉션을 얻었으며 이것은 공통 확률 공간에 정의 된 임의의 변수 쌍에 적용됩니다.

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에서 는 독립적 이라는 결론을 내릴 수 있습니까 ? : 독립을 따르도록

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