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independence

에서 는 독립적 이라는 결론을 내릴 수 있습니까 ? : 독립을 따르도록

글쎄, 우리는 예를 들어 https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence 를 참조 하여 흥미로운 반례를 볼 수는 없습니다 . 그러나 실제 질문은 : 독립을 따르도록 조건을 강화할 방법이 있습니까? 예를 들어, g_1, \ dotsc, g_n 함수 집합

g1,,gn

그래서 모든 i, j에 대해 \ E g_i (X) g_j (Y) = \ E g_i (X) \ E g_j (Y) 이면 독립성이 뒤 따릅니다. 그리고 그러한 일련의 함수는 얼마나 커야합니까?

Egi(X)gj(Y)=Egi(X)Egj(Y)

i,j

또한이 질문을 다루는 좋은 참고 자료가 있습니까?



답변

하자 확률 공간합니다. 정의에 따라 두 개의 임의 변수 은 -algebras 와 가 독립적 인 경우 독립적입니다. 즉 에는 있습니다.

(Ω,F,P)

X,Y:ΩR

σ

SX:=σ(X)

SY:=σ(Y)

ASX,BSY

P(AB)=P(A)P(B)

하자 및 걸릴 (지적에 대해 @grand_chat, 감사 충분하다). 그런 다음


ga(x)=I(xa)

G={ga:aQ}

Q

E(ga(X)gb(Y))=E(I(Xa)I(Yb))=E(I(Xa,Yb))=P(XaYb)

E(ga(X))E(gb(Y))=P(Xa)P(Yb).

우리가 가정하면 그
우리가 관심을 끌 수 정리

즉 입니다.

a,bQ


P(XaYb)=P(Xa)P(Yb)

πλ

P(AB)=P(A)P(B)ASX,BSY

XY

따라서 실수를하지 않으면 적어도 그러한 함수의 셀 수있는 컬렉션을 얻었으며 이것은 공통 확률 공간에 정의 된 임의의 변수 쌍에 적용됩니다.


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