하자 확률 공간합니다. 정의에 따라 두 개의 임의 변수 은 -algebras 와 가 독립적 인 경우 독립적입니다. 즉 에는 있습니다.(Ω,F,P)

$(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$

$(\Omega, \mathscr F, P)$X,Y:Ω→R

$X,Y:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$

$X, Y :\Omega \to \mathbb R$σ

$\sigma$

$\sigma$SX:=σ(X)

$S_X:=\sigma (X)$

$S_X := \sigma(X)$SY:=σ(Y)

$S_Y:=\sigma (Y)$

$S_Y := \sigma(Y)$∀A∈SX,B∈SY

$\mathrm{\forall }A\in S_X,B\in S_Y$

$\forall A \in S_X, B \in S_Y$P(A∩B)=P(A)P(B)

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

하자 및 걸릴 (지적에 대해 @grand_chat, 감사 충분하다). 그런 다음

및
ga(x)=I(x≤a)

$g_a(x)=I(x\le a)$

$g_a(x) = I(x \leq a)$G={ga:a∈Q}

$G=\{g_a:a\in \mathbb{Q}\}$

$G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$Q

$\mathbb{Q}$

$\mathbb Q$

$$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$$

$$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$$

우리가 가정하면 그
우리가 관심을 끌 수 정리 는

즉 입니다.∀a,b∈Q

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q}$

$\forall a, b \in \mathbb Q$

$$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$$ π−λ

$\pi -\lambda$

$\pi-\lambda$

$$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$$ X⊥Y

$X\perp Y$

$X \perp Y$

따라서 실수를하지 않으면 적어도 그러한 함수의 셀 수있는 컬렉션을 얻었으며 이것은 공통 확률 공간에 정의 된 임의의 변수 쌍에 적용됩니다.

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