예 Neyman Pearson Lemma는 간단한 null 및 간단한 대안이 동일한 배포 제품군에 속하지 않는 경우에 적용 할 수 있습니다.

우리의 가장 강력한 (MP) 시험 구성 할 수 있도록 에 대한 H 1 : X ~ 특급 ( 1 ) 의 크기를.H0: X~ N( 0 , 1 )

$H_0:\mathrm{엑스}\sim 엔(0,1)$

$H_0:X\sim N(0,1)$H1: X∼ 경험치 ( 1 )

$H_1:\mathrm{엑스}\sim \text{특급}(1)$

$H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

특정 에 대해 Neyman Pearson lemma의 핵심 기능은케이

$\mathrm{케이}$

$k$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$

MP의 시험이다 에 대해 H (1) 의 크기.H0

$H_0$

$H_0$H1

$H_1$

$H_1$

여기에서

$$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$$

참고
이제r(x)의 그림을 그리면[응답에서 그림을 구성하는 방법을 모르겠습니다], 그래프에서r(x)가 명확 해집니다>k

$$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,&#038; x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$$ r ( x )

$\mathrm{아르\; 자형}(\mathrm{엑스})$

$r(x)$ .r ( x ) > k⟹x > c

$\mathrm{아르\; 자형}(\mathrm{엑스})>\mathrm{케이}⟹\mathrm{엑스}>씨$

$r(x)>k \implies x>c$

그래서하는 particualr 대한 φ ( X ) =는 { 1 , X > C 0 , 그렇지
의 MP 시험 인 H O 에 대해 H (1) 의 크기가.씨

$씨$

$c$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$ H영형

$H_{\mathrm{영형}}$

$H_o$H1

$H_1$

$H_1$

테스트 할 수 있습니다

• 1. 에 대하여H1:X~코시(0,1)H0: X~ N( 0 , 12)
     $H_0:\mathrm{엑스}\sim 엔(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$

     $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$H1: X∼ 코시 ( 0 , 1 )

     $H_1:\mathrm{엑스}\sim \text{코시}(0,1)$

     $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$

  2. 대 H 1 : X ∼ 코시 ( 0 , 1 )H0: X~ N( 0 , 1 )
     $H_0:\mathrm{엑스}\sim 엔(0,1)$

     $H_0:X\sim N(0,1)$H1: X∼ 코시 ( 0 , 1 )

     $H_1:\mathrm{엑스}\sim \text{코시}(0,1)$

     $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$

  3. 대 H 1 : X ∼ 이중 지수 ( 0 , 1 )H0: X~ N( 0 , 1 )
     $H_0:\mathrm{엑스}\sim 엔(0,1)$

     $H_0:X\sim N(0,1)$H1: X∼Double Exponential(0,1)

     $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

     $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

네이 먼 피어슨

일반적으로 LRT (likelihood ration test)는 다른 분포 계열에 속하는 복합 null 및 복합 대안에 적합하지 않습니다. LRT는 가 다중 모수 일 때 특히 유용 하며 모수 중 하나에 관한 가설을 검정하고자합니다. .θ

$\theta$

$\mathbb{\theta}$

그게 다야

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답변