숫자 이론 (우리의 목적을 위해) 의 문장 은 다음과 같은 일련의 기호입니다.

• 0그리고 '(후임자)-후속 수단 +1, 그래서0'''' = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4
• +(더하기)와 *(곱하기)
• = (동일)
• (그리고 )(괄호)
• 논리 연산자 nand( a nand bis not (a and b))
• forall (범용 정량 자)

• v0, v1, v2, 등 (변수)

  다음은 문장의 예입니다.

forall v1 (forall v2 (forall v3 (not (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3))))

여기 not x에 대한 약칭 x nand x이 있습니다 (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3) nand (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3). 왜냐하면 실제 문장이 사용 하기 때문 x nand x = not (x and x) = not x입니다.

세 자연수의 모든 조합에 대한 것으로이 상태 v1, v2그리고 v3, 그것은 V1하는 경우가 아니라 ³ + V2 ³ = V3 ³ (그것을 얻을 것이라는 사실을 제외하고, 때문에 페르마의 마지막 정리의 사실이 될 것이다 0 ^ 3 + 0 ^ 3 = 0 ^ 3).

불행히도, 고델 (Gödel)에 의해 증명 된 바와 같이, 수 이론의 문장이 참인지 아닌지를 판단하는 것은 불가능합니다.

그것은 이다 우리는 유한 집합으로 자연수의 집합을 제한 할 경우, 그러나, 수.

따라서이 과제는 모듈러스를 취했을 때 n어떤 양의 정수에 대해 수론의 문장이 참인지 아닌지를 결정하는 것 n입니다. 예를 들어, 문장

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)

(모든 숫자 x, x ³ = x에 대한 진술 )

일반적인 산술에는 해당되지 않지만 (예 : 2 ³ = 8 ≠ 2) 모듈로 3을 사용하는 경우 에는 적용됩니다.

0 * 0 * 0 ≡ 0 (mod 3)
1 * 1 * 1 ≡ 1 (mod 3)
2 * 2 * 2 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3)

입력 및 출력 형식

입력은 n“합리적인”형식 의 문장과 양의 정수 입니다. 다음은 forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)수론 모듈로 3 의 문장 에 적합한 형식의 예입니다 .

("forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)", 3)
"3:forall v0 (((v0 * v0) * v0) = v0)"
"(forall v0)(((v0 * v0) * v0) = v0) mod 3"
[3, "forall", "v0", "(", "(", "(", "v0", "*", "v0", ")", "*", "v0", ")", "=", "v0", ")"]
(3, [8, 9, 5, 5, 5, 9, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 4, 9, 6]) (the sentence above, but with each symbol replaced with a unique number)
"f v0 = * * v0 v0 v0 v0"
[3, ["forall", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]
"3.v0((v0 * (v0 * v0)) = v0)"

입력은 stdin, 명령 행 인수, 파일 등이 될 수 있습니다.

이 프로그램은 문장이 출력 할 수 예, 사실 여부에 대해 어떤 두 가지 출력을 할 수 있습니다 yes그것은 사실 경우 no가 아니라면.

forall예를 들어 , 두 번의 주제가되는 하나의 변수를 지원할 필요는 없습니다 (forall v0 (v0 = 0)) nand (forall v0 (v0 = 0)). 입력에 유효한 구문이 있다고 가정 할 수 있습니다.

테스트 사례

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 3
true

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 4
false (2 * 2 * 2 = 8 ≡ 0 mod 4)

forall v0 (v0 = 0) mod 1
true (all numbers are 0 modulo 1)

0 = 0 mod 8
true

0''' = 0 mod 3
true

0''' = 0 mod 4
false

forall v0 (v0' = v0') mod 1428374
true

forall v0 (v0 = 0) nand forall v1 (v1 = 0) mod 2
true (this is False nand False, which is true)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 7
true
(equivalent to "forall v0 (v0 =/= 0 implies exists v1 (v0 * v1 = 0)), which states that every number has a multiplicative inverse modulo n, which is only true if n is 1 or prime)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 4
false

이것은 코드 골프 이므로 가능한 한 프로그램을 짧게 만드십시오!

답변

def g(n,s):
 if str(s)==s:return s.replace("'","+1")
 o,l,r=map(g,[n]*3,s);return['all((%s)for %s in range(%d))'%(r,l,n),'not((%s)*(%s))'%(l,r),'(%s)%%%d==(%s)%%%d'%(l,n,r,n),'(%s)%s(%s)'%(l,o,r)]['fn=+'.find(o)]
print eval(g(*input()))

[3, ["f", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]

{x y z←3↑⍵⋄7≤x:y×7<x⋄5≡x:∧/∇¨y{⍵≡⍺⍺:⍵⍺⋄x y z←3↑⍵⋄7≤x:⍵⋄6≡x:x(⍺∇y)⋄x(⍺∇⍣(5≢x)⊢y)(⍺∇z)}∘z¨⍳⍺⍺⋄y←∇y⋄6≡x:1+y⋄y(⍎x⊃'+×⍲',⊂'0=⍺⍺|-')∇z}

plus times nand eq forall succ zero ← 1 2 3 4 5 6 7

⍝ node types; anything ≥8 will be considered a var
plus times eq nand forall succ zero var←⍳8
⍝ AST nodes have 1~3 length, 1st being the node type
⍝ zero → zero, succ → succ arg, var → var | var value (respectively)

⍝ to (from replace) AST → transform AST so that 'from' var has the value 'to' attached
replace←{
  ⍵≡⍺⍺:⍵⍺             ⍝ variable found, attach the value
  x y z←3↑⍵
  zero≤x: ⍵           ⍝ zero or different variable: keep as is
  succ≡x: x(⍺∇y)      ⍝ succ: propagate to y
  forall≡x: x y(⍺∇z)  ⍝ forall: propagate to z
  x(⍺∇y)(⍺∇z)         ⍝ plus, times, eq, nand: propagate to both args
}
⍝ (mod eval) AST → evaluate AST with the given modulo
eval←{
  x y z←3↑⍵
  zero≡x:   0
  var≤x:    y                    ⍝ return attached value
  forall≡x: ∧/∇¨y replace∘z¨⍳⍺⍺  ⍝ check all replacements for given var
  succ≡x:   1+∇y
  plus≡x:   (∇y)+∇z
  times≡x:  (∇y)×∇z
  eq≡x:     0=⍺⍺|(∇y)-∇z         ⍝ modulo equality
  nand≡x:   (∇y)⍲∇z              ⍝ nand symbol does nand operation
}