이 답변에 주어진 밀도 는 퇴화되므로, 다음을 사용하여 정규 근사에서 얻은 밀도를 계산했습니다.

확률 변수 소정라는 이론있어 들면 차원 벡터 와 및 입니다.X=[X1,…,Xm]T∼Multinom(n,p)

$X=[X_1,\dots ,X_m{]}^T\sim \text{Multinom}(n,p)$

$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$m

$m$

$m$p

$p$

$p$∑ipi=1

$\sum _i{p}_i=1$

$\sum_i p_i = 1$∑iXi=n

$\sum _i{X}_i=n$

$\sum_i X_i = n$

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

큰 에 대해 주어진;n

$n$

$n$

• 벡터 와 ;u
  $u$

  $u$ui=pi−−√

  $u_i=\sqrt{p_i}$

  $u_i = \sqrt{p_i}$

• 대한 랜덤 변수 및;Zi∼N(0,1)
  $Z_i\sim N(0,1)$

  $Z_i \sim N(0,1)$i=1,…,m−1

  $i=1,\dots ,m-1$

  $i = 1, \ldots, m-1$

• 직교 행렬 마지막 컬럼 .Q
  $Q$

  $Q$u

  $u$

  $u$

다시 말해, 일부 재 배열 을 통해 의 첫 번째 성분 ( 이 다른 성분 의 합 이므로 유일하게 흥미로운 성분 )에 대한 차원 다변량 정규 분포를 있습니다.m−1

$m-1$

$m-1$m−1

$m-1$

$m-1$X

$X$

$X$Xm

$X_m$

$X_m$

매트릭스의 적절한 값 이고 와 – 즉 특정 세대주 변환.Q

$Q$

$Q$I−2vvT

$I-2v{v}^T$

$I - 2 v v^T$vi=(δim−ui)/2(1−um)−−−−−−−−√

$v_i=({\delta }_{im}-u_i)/\sqrt{2(1-u_m)}$

$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

왼쪽을 첫 번째 행으로 제한하고 를 첫 번째 행 및 열로 제한하면 (각각 및 나타냄) 다음을 수행하십시오.m−1

$m-1$

$m-1$Q

$Q$

$Q$m−1

$m-1$

$m-1$m−1

$m-1$

$m-1$X^

$\hat{X}$

$\hat{X}$Q^

$\hat{Q}$

$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

큰 의 경우;n

$n$

$n$

• u^
  $\hat{u}$

  $\hat{u}$ 제 나타내고 의 조건 ;m−1

  $m-1$

  $m-1$u

  $u$

  $u$

• 평균은 .μ=[np1,…,npm−1]T
  $\mu =[n{p}_1,\dots ,n{p}_{m-1}{]}^T$

  $\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$

• 공분산 행렬 와 .nΣ=nAAT
  $n\mathrm{\Sigma }=nA{A}^T$

  $n \Sigma = n A A^T$A=diag(u^)Q^

  $A=\text{diag}(\hat{u})\hat{Q}$

  $A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

최종 방정식의 오른쪽은 계산에 사용되는 비축 퇴 밀도입니다.

예상대로 모든 것을 연결하면 다음과 같은 공분산 행렬이 나타납니다.

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

위한 이고, 정확하게 는 제 한정 일본어 대답 공분산 행렬 행과 컬럼.i,j=1,…,m−1

$i,j=1,\dots ,m-1$

$i,j = 1, \ldots, m-1$m – 1 m – 1m−1

$m-1$

$m-1$m−1

$m-1$

$m-1$

이 블로그 항목 은 저의 출발점이었습니다.

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