거기에 도달하는 데 시간이 조금 걸리지 만 요약 하면 B에 해당하는 변수의 한 단위 변경으로 인해 결과의 상대 위험 (기본 결과와 비교)에 6.012가 곱해집니다.

하나의 “5,012퍼센트”증가로이 표현 할 수 상대 실제로 다항 로지스틱 모델은 강력하게 우리를 격려 할 때, 위험하지만, 우리가 부가 적 변화를 생각해야 알 수 있기 때문에 즉, 그것을 할 수있는 혼란과 잠재적으로 오해의 소지 방법 곱셈으로 생각하십시오. 변수의 변화가 문제의 결과뿐만 아니라 모든 결과 의 예측 확률을 동시에 변경하기 때문에 수정 자 “상대적”이 필수적입니다. 따라서 확률을 차이가 아닌 비율 로 비교해야합니다 .

이 답변의 나머지 부분은 이러한 진술을 올바르게 해석하는 데 필요한 용어와 직관을 개발합니다.

배경

다항식 사례로 넘어 가기 전에 일반적인 로지스틱 회귀 분석부터 시작하겠습니다.

종속 (이진) 변수 및 독립 변수 의 경우 모델은X iY

$Y$

$Y$Xi

$X_i$

$X_i$

$$\Pr[Y=1] = \frac{\exp(\beta_1 X_1 + \cdots + \beta_m X_m)}{1+\exp(\beta_1 X_1 + \cdots + \beta_m X_m)};$$

등가 가정 ,0≠Pr[Y=1]≠1

$0\ne Pr[Y=1]\ne 1$

$0 \ne \Pr[Y=1] \ne 1$

$$\log(\rho(X_1, \cdots, X_m)) = \log\frac{\Pr[Y=1]}{\Pr[Y=0]} = \beta_1 X_1 + \cdots + \beta_m X_m.$$

(이것은 단순히 정의 는 IS, 확률 의 함수로서 ).X iρ

$\rho$

$\rho$Xi

$X_i$

$X_i$

일반성의 손실없이, 색인 되도록 변수이며 질문에서 “B”이다 (그래서 ). 값 고정 , 그리고 다양한 소량으로 수율X m β m exp ( β m ) = 6.012 X i , 1 ≤ i < m X m δXi

$X_i$

$X_i$Xm

$X_m$

$X_m$βm

${\beta }_m$

$\beta_m$exp(βm)=6.012

$\exp ({\beta }_m)=6.012$

$\exp(\beta_m)=6.012$Xi,1≤i<m

$X_i,1\le i<m$

$X_i, 1\le i\lt m$Xm

$X_m$

$X_m$δ

$\delta$

$\delta$

$$\log(\rho(\cdots, X_m+\delta)) - \log(\rho(\cdots, X_m)) = \beta_m \delta.$$

따라서, 에 대한 로그 확률의 한계 변화 .X의 mβ미디엄

${\beta }_m$

$\beta_m$ 엑스미디엄

$X_m$

$X_m$

복구하려면 설정 하고 왼쪽을 지수화 해야합니다 .δ = 1특급( β미디엄)

$\exp ({\beta }_m)$

$\exp(\beta_m)$δ= 1

$\delta =1$

$\delta=1$

$$\eqalign{ \exp(\beta_m) &= \exp(\beta_m \times 1) \\ & = \exp( \log(\rho(\cdots, X_m+1)) - \log(\rho(\cdots, X_m))) \\ & = \frac{\rho(\cdots, X_m+1)}{\rho(\cdots, X_m)}. }$$

이는 의 1 단위 증가에 대한 승산 비로 을 나타 . 이것이 의미하는 바에 대한 직관을 개발하려면 패턴을 돋보이게 만들기 위해 크게 반올림하여 시작 확률 범위에 대한 일부 값을 표로 표시하십시오.X mexp(βm)

$\exp ({\beta }_m)$

$\exp(\beta_m)$Xm

$X_m$

$X_m$

Starting odds  Ending odds  Starting Pr[Y=1]  Ending Pr[Y=1]
0.0001         0.0006       0.0001            0.0006
0.001          0.006        0.001             0.006
0.01           0.06         0.01              0.057
0.1            0.6          0.091             0.38
1.             6.           0.5               0.9
10.            60.          0.91              1.
100.           600.         0.99              1.

들면 실제로 작은 대응 확률, 실제로 작은 확률을, 하나 개의 단위 증가 효과 것이다 곱 6.012 관련하여 확률 또는 가능성. 승산 (및 확률)이 커짐에 따라 곱셈 계수가 감소 하고, 승산이 10을 초과하면 (확률이 0.9를 초과) 본질적으로 사라집니다.Xm

$X_m$

$X_m$

부가적인 변화 로서, 0.0001과 0.0006의 확률 사이에는 큰 차이가 없으며 (0.05에 불과) 0.99와 1 사이에는 큰 차이가 없습니다 (1 % 만). 가장 큰 가산 효과는 확률이 때 발생하며 , 여기서 확률은 29 %에서 71 %로 변경됩니다. + 42 %의 변화입니다.1/6.012−−−−√∼0.408

$1/\sqrt{6.012}\sim 0.408$

$1/\sqrt{6.012} \sim 0.408$

우리는 우리가 교차비으로 “위험”를 표현하는 경우 해당, 다음을 참조 확률 비율이 동일 – = “B”는 간단한 해석이 에서 단위 증가 – 그러나 우리는 약간의 위험을 표현할 때 확률의 변화와 같은 다른 방식으로 해석 할 때 시작 확률을 지정해야합니다.β m X mβm

${\beta }_m$

$\beta_m$βm

${\beta }_m$

$\beta_m$Xm

$X_m$

$X_m$

다항 로지스틱 회귀

(이것은 나중에 편집하기 위해 추가되었습니다.)

확률을 표현하기 위해 로그 확률을 사용하는 값을 인식 했으므로 다항식 사례로 넘어 갑시다. 이제 종속 변수 는 색인 된 범주 중 하나와 같을 수 있습니다 . 상대 확률은 분류되어 이며k ≥ 2 i = 1 , 2 , … , k iY

$Y$

$Y$k≥2

$k\ge 2$

$k \ge 2$i=1,2,…,k

$i=1,2,\dots ,k$

$i=1, 2, \ldots, k$i

$i$

$i$

$$\Pr[Y_i] \sim \exp\left(\beta_1^{(i)} X_1 + \cdots + \beta_m^{(i)} X_m\right)$$

매개 변수 를 사용하여 결정하고 대해 를 작성 합니다. 약어로, 오른쪽 표현식을 하거나 문맥 에서 와 가 명확하면 간단히 . 이러한 모든 상대 확률을 단일화로 합치도록 정규화 Y i Pr [ Y = category  i ] p i ( X , β ) X β p iβ(i)j

${\beta }_j^{(i)}$

$\beta_j^{(i)}$Yi

$Y_i$

$Y_i$Pr[Y=category i]

$Pr[Y=\text{category }i]$

$\Pr[Y=\text{category }i]$pi(X,β)

$p_i(X,\beta )$

$p_i(X,\beta)$X

$X$

$X$β

$\beta$

$\beta$pi

$p_i$

$p_i$

$$\Pr[Y_i] =\frac{p_i(X,\beta)}{p_1(X,\beta) + \cdots + p_m(X,\beta)}.$$

(매개 변수에는 모호함이 있습니다. 매개 변수가 너무 많습니다. 일반적으로 비교를 위해 “기본”범주를 선택하고 모든 계수를 0으로 설정합니다. 그러나 베타에 대한 고유 한 추정치를보고하려면 계수를 해석 할 필요 는 없습니다 . 대칭을 유지하기 위해 (즉, 범주 간의 인공적인 구별을 피하기 위해) 우리가 할 필요가 없다면 그러한 제약을 강요하지 마십시오.)

이 모델을 해석하는 한 가지 방법 은 독립 변수 중 하나 (예 : ) 와 관련하여 모든 범주 (예 : 범주 )에 대한 로그 확률의 한계 변화율을 요청 하는 것입니다 . 즉, 를 약간 변경하면 의 로그 확률이 ​​변경됩니다 . 우리는이 두 가지 변화와 관련된 비례의 상수에 관심이 있습니다. 미적분학 연쇄 법칙은 작은 대수와 함께이 변화율이X j X j Y ii

$i$

$i$Xj

$X_j$

$X_j$Xj

$X_j$

$X_j$Yi

$Y_i$

$Y_i$

$$\frac{\partial\ \text{log odds}(Y_i)}{\partial\ X_j} = \beta_j^{(i)} - \frac{\beta_j^{(1)}p_1 + \cdots + \beta_j^{(i-1)}p_{i-1} + \beta_j^{(i+1)}p_{i+1} +\cdots + \beta_j^{(k)}p_k}{p_1 + \cdots + p_{i-1} + p_{i+1} + \cdots + p_k}.$$

이 계수와 같은 비교적 간단한 해석 갖는다 의 있는 가능성에 대한 화학식에서 카테고리에 뺀 “조정.”을 조정은 다른 모든 범주에서 계수의 확률 가중 평균입니다 . 가중치는 독립 변수 의 현재 값과 연관된 확률을 사용하여 계산됩니다 . 따라서 로그의 한계 변화가 반드시 일정하지는 않습니다 . 문제의 범주 확률 (카테고리 ) 뿐만 아니라 다른 모든 범주의 확률에 따라 다릅니다 . X J Y 나 X J X 난β(i)j

${\beta }_j^{(i)}$

$\beta_j^{(i)}$Xj

$X_j$

$X_j$Y

$Y$

$Y$i

$i$

$i$Xj

$X_j$

$X_j$X

$X$

$X$i

$i$

$i$

단지이 때 카테고리, 이것은 통상의 회귀를 감소해야한다. 실제로 확률 가중치는 아무 것도 수행하지 않으며 ( 선택 ) 단순히 합니다. 카테고리 기본 사례로 이기 때문에 이것을 더 줄 입니다. 따라서 새로운 해석은 오래된 것을 일반화합니다.i = 2 β ( 2 ) j − β ( 1 ) j i β ( 2 ) j β ( 1 ) j = 0k=2

$k=2$

$k=2$i=2

$i=2$

$i=2$β(2)j−β(1)j

${\beta }_j^{(2)}-{\beta }_j^{(1)}$

$\beta_j^{(2)} - \beta_j^{(1)}$i

$i$

$i$β(2)j

${\beta }_j^{(2)}$

$\beta_j^{(2)}$β(1)j=0

${\beta }_j^{(1)}=0$

$\beta_j^{(1)}=0$

직접 해석하기 위해 위 공식의 한쪽에서 분리하여 다음과 같이합니다.β(i)j

${\beta }_j^{(i)}$

$\beta_j^{(i)}$

계수 범주 종류의 로그 확률의 한계 변화 같음 변수에 대하여 , 플러스 다른 모든 계수의 확률 가중 평균 카테고리 . i i X j X j ‘ iXj

$X_j$

$X_j$i

$i$

$i$i

$i$

$i$Xj

$X_j$

$X_j$Xj′

$X_{j^{\prime }}$

$X_{j'}$i

$i$

$i$

조금 덜 직접적이지만 또 다른 해석은 범주 를 기본 사례로 설정 하여 모든 독립 변수 대해 .β ( i ) j = 0 X ji

$i$

$i$β(i)j=0

${\beta }_j^{(i)}=0$

$\beta_j^{(i)}=0$Xj

$X_j$

$X_j$

변수 에 대한 기본 사례의 로그 확률의 한계 변화율은 다른 모든 경우에 대한 계수의 확률 가중 평균의 음수입니다.Xj

$X_j$

$X_j$

실제로 이러한 해석을 사용하려면 일반적으로 소프트웨어 출력에서 ​​베타 및 확률을 추출하고 표시된대로 계산을 수행해야합니다.

마지막으로 지수를 계산 한 계수의 경우 두 결과 간의 확률 비율 (때로는 와 비교하여 의 “상대 위험”이라고 함 )은 다음과 같습니다.내가 ‘i

$i$

$i$i′

$i^{\prime }$

$i'$

$$\frac{Y_{i}}{Y_{i'}} = \frac{p_{i}(X,\beta)}{p_{i'}(X,\beta)}.$$

하자의 증가 하나 개의 단위로 . 이 곱셈 의해 및 로 의 상대적 위험을 곱하여 어디서 = . 카테고리를 가지고가는 것은 기본 경우이 감소 될 수 있습니다 , 우리를 선도하는 말X j + 1 p i exp ( β ( i ) j ) p i ‘ exp ( β ( i ‘ ) j ) exp ( β ( i ) j ) / exp ( β ( i ‘ ) j ) exp ( β ( i ) j – β ( i ‘ ) jXj

$X_j$

$X_j$Xj+1

$X_j+1$

$X_j+1$pi

$p_i$

$p_{i}$exp(β(i)j)

$\exp ({\beta }_j^{(i)})$

$\exp(\beta_j^{(i)})$pi′

$p_{i^{\prime }}$

$p_{i'}$exp(β(i′)j)

$\exp ({\beta }_j^{(i^{\prime })})$

$\exp(\beta_j^{(i')})$exp(β(i)j)/exp(β(i′)j)

$\exp ({\beta }_j^{(i)})/\exp ({\beta }_j^{(i^{\prime })})$

$\exp(\beta_j^{(i)}) / \exp(\beta_j^{(i')})$exp(β(i)j−β(i′)j)

$\exp ({\beta }_j^{(i)}-{\beta }_j^{(i^{\prime })})$

$\exp(\beta_j^{(i)}-\beta_j^{(i')})$i′

$i^{\prime }$

$i'$exp(β(i)j)

$\exp ({\beta }_j^{(i)})$

$\exp(\beta_j^{(i)})$

지수 계수 는 상대 위험 에 곱해지는 양입니다. 변수 가 1 단위 증가 할 때exp(β(i)j)

$\exp ({\beta }_j^{(i)})$

$\exp(\beta_j^{(i)})$Pr[Y=category i]/Pr[Y=base category]

$Pr[Y=\text{category }i]/Pr[Y=\text{base category}]$

$\Pr[Y = \text{category }i]/\Pr[Y = \text{base category}]$Xj

$X_j$

$X_j$

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답변