답이 늦어서 미안하지만, 이것도 저를 괴롭 히고 답을 찾았습니다. 분포는 실제로 Dirichlet-Multinomial이며 개별 부정입니다. 이항 분포는 Fano factor (평균에 대한 분산 비율)가 동일한 한 동일 할 필요도 없습니다.

긴 대답 :

NB를 다음과 같이 매개 변수화하는 경우 :

p(X=x|λ,θ)=NB(x|λ,θ)=(θ−1λ+x−1x)(11+θ−1)x(θ−11+θ−1)θ−1λ

$p(X=x|\lambda ,\theta )=NB(x|\lambda ,\theta )=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\theta }^{-1}\lambda +x-1}{x}){\left(\frac{1}{1+{\theta }^{-1}}\right)}^x{\left(\frac{{\theta }^{-1}}{1+{\theta }^{-1}}\right)}^{{\theta }^{-1}\lambda }$

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

그런 다음 및 및E(X)=λ

$E(X)=\lambda$

$E(X) = \lambda$Var(X)=λ(1+θ)

$Var(X)=\lambda (1+\theta )$

$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

∀i:Xi∼NB(λi,θ)

$\mathrm{\forall }i:X_i\sim NB({\lambda }_i,\theta )$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ 의미

∑Xi∼NB(∑λi,θ)

$\sum X_i\sim NB(\sum {\lambda }_i,\theta )$

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

그런 다음 합계가 주어진 확률을 취하십시오.

∏NB(xi|λi,θ)NB(∑xi|∑λi,θ)=(11+θ−1)∑xi(θ−11+θ−1)θ−1∑λi∏(θ−1λi+xi−1xi)(11+θ−1)∑xi(θ−11+θ−1)θ−1∑λi(θ−1∑λi+∑xi−1∑xi)==Γ(∑xi+1)Γ(θ−1∑λi)Γ(θ−1∑λi+∑xi)∏Γ(θ−1λi+xi)Γ(xi+1)Γ(θ−1λi)=DM(x1,...,xn|θ−1λ1,...,θ−1λn)

$$\begin{gathered} \frac{\prod NB(x_i|{\lambda }_i,\theta )}{NB(\sum x_i|\sum {\lambda }_i,\theta )}=\frac{{\left(\frac{1}{1+{\theta }^{-1}}\right)}^{\sum x_i}{\left(\frac{{\theta }^{-1}}{1+{\theta }^{-1}}\right)}^{{\theta }^{-1}\sum {\lambda }_i}\prod (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\theta }^{-1}{\lambda }_i+x_i-1}{x_i})}{{\left(\frac{1}{1+{\theta }^{-1}}\right)}^{\sum x_i}{\left(\frac{{\theta }^{-1}}{1+{\theta }^{-1}}\right)}^{{\theta }^{-1}\sum {\lambda }_i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\theta }^{-1}\sum {\lambda }_i+\sum x_i-1}{\sum x_i})}= \\ =\frac{\mathrm{\Gamma }(\sum x_i+1)\mathrm{\Gamma }({\theta }^{-1}\sum {\lambda }_i)}{\mathrm{\Gamma }({\theta }^{-1}\sum {\lambda }_i+\sum x_i)}\prod \frac{\mathrm{\Gamma }({\theta }^{-1}{\lambda }_i+x_i)}{\mathrm{\Gamma }(x_i+1)\mathrm{\Gamma }({\theta }^{-1}{\lambda }_i)} \\ =DM(x_1,...,x_n|{\theta }^{-1}{\lambda }_1,...,{\theta }^{-1}{\lambda }_n) \end{gathered}$$

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

여기서 은 Dirichlet-Multinomial 가능성입니다. 이것은 다항식 계수를 제외하고 왼쪽에있는 분수의 많은 항이 상쇄되어 DM 우도에서와 동일한 감마 함수 항만 남게된다는 사실에서 비롯됩니다.DM

$DM$

$DM$

또한이 모델의 매개 변수는 모든 동시 감소와 정확히 동일한 가능성을 갖는 증가로 식별 할 수 없습니다 .θ

$\theta$

$\theta$λi

${\lambda }_i$

$\lambda_i$

이것에 대한 가장 좋은 참조는 Guimarães & Lindrooth (2007) 의 섹션 2에서 3.1입니다 : 그룹화 된 조건부 로짓 모델의과 분산 제어 : Dirichlet- multinomial regression의 계산적으로 간단한 적용 -불행히도 월급은 아니지만, 나는 할 수 없었습니다. 유료화되지 않은 참조를 찾으십시오.

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