이 두 분포는 마다 다릅니다 .n≥4

$n\ge 4$

$n \geq 4$

표기법

격자 점은 정수 좌표를 갖도록 인수 심플 렉스의 크기를 조정합니다 . 이것은 아무것도 변경하지 않으며, 표기법을 조금 덜 성가신 것으로 생각합니다.n

$n$

$n$

에서 점 , …, 의 볼록 껍질로 주어진 -simplex 라고 합시다 . . 다시 말해, 이것은 모든 좌표가 음이 아닌 점과 좌표의 합이 지점 입니다.( n – 1 ) ( n , 0 , … , 0 ) ( 0 , … , 0 , n ) R n nS

$S$

$S$(n−1)

$(n-1)$

$(n-1)$(n,0,…,0)

$(n,0,\dots ,0)$

$(n,0,\ldots,0)$(0,…,0,n)

$(0,\dots ,0,n)$

$(0,\ldots,0,n)$Rn

${\mathbb{R}}^n$

$\mathbb R^{n}$n

$n$

$n$

하자 세트 나타내는 격자 점 IE에서 해당 점 모든 좌표가 일체형이다.SΛ

$\mathrm{\Lambda }$

$\Lambda$S

$S$

$S$

경우 격자 점, 우리하자 그 나타낸다 보로 노이 셀 에 해당 지점으로 정의 어느이다 (엄밀) 가까이에 의 다른 포인트보다 .V P S P ΛP

$P$

$P$VP

$V_P$

$V_P$S

$S$

$S$P

$P$

$P$Λ

$\mathrm{\Lambda }$

$\Lambda$

에 두 가지 확률 분포를 넣을 수 있습니다 . 하나는 다항식 분포이며 점 은 확률이 입니다. 다른 하나는 Dirichlet 모델 이라고하며 , 각 에 의 부피에 비례하는 확률을 할당합니다 .( 1 , . . . , N ) 2 – N , N ! / ( a 1 ! ⋯ a n ! ) P ∈ Λ V PΛ

$\mathrm{\Lambda }$

$\Lambda$(a1,...,an)

$(a_1,...,a_n)$

$(a_1, ..., a_n)$2−nn!/(a1!⋯an!)

$2^{-n}n!/(a_1!\cdots a_n!)$

$2^{-n} n!/(a_1! \cdots a_n!)$P∈Λ

$P\in \mathrm{\Lambda }$

$P \in \Lambda$VP

$V_P$

$V_P$

매우 비공식적 인 정당성

다항식 모델과 Dirichlet 모델은 일 때마다 에 대해 다른 분포를 제공한다고 주장합니다 .n ≥ 4Λ

$\mathrm{\Lambda }$

$\Lambda$n≥4

$n\ge 4$

$n \geq 4$

이를 확인하려면 대소 문자 및 점 및 . 와 는 벡터 의한 변환을 통해 합동 한다고 주장합니다 . 이는 와 의 부피가 동일하므로 Dirichlet 모델에서 와 의 확률이 같습니다. 반면, 다항식 모델에서는 확률이 서로 다릅니다 ( 및 ). 분포가 같을 수 없습니다.A = ( 2 , 2 , 0 , 0 ) B = ( 3 , 1 , 0 , 0 ) V A V B ( 1 , − 1 , 0 , 0 ) V A V B A B 2 − 4 ⋅ 4 ! / ( 2 ! 2 ! ) 2 − 4n=4

$n=4$

$n=4$A=(2,2,0,0)

$A=(2,2,0,0)$

$A = (2,2,0,0)$B=(3,1,0,0)

$B=(3,1,0,0)$

$B=(3,1,0,0)$VA

$V_A$

$V_A$VB

$V_B$

$V_B$(1,−1,0,0)

$(1,-1,0,0)$

$(1,-1,0,0)$VA

$V_A$

$V_A$VB

$V_B$

$V_B$A

$A$

$A$B

$B$

$B$2−4⋅4!/(2!2!)

$2^{-4}\cdot 4!/(2!2!)$

$2^{-4} \cdot 4!/(2!2!)$2−4⋅4!/3!

$2^{-4}\cdot 4!/3!$

$2^{-4} \cdot 4!/3!$

와 가 하다는 사실 은 다음의 그럴듯하지만 명백하지 않은 (그리고 다소 모호한) 주장에서 됩니다.V BVA

$V_A$

$V_A$VB

$V_B$

$V_B$

개연성 제 : 형상 및 크기 전용의 “바로 이웃”에 의해 영향을 (즉, 해당 포인트에서 다를 벡터로 같은 모양 , 여기서 과 다른 장소에있을 수 있음) P Λ P ( 1 , – 1 , 0 , … , 0 ) 1 – 1VP

$V_P$

$V_P$P

$P$

$P$Λ

$\mathrm{\Lambda }$

$\Lambda$P

$P$

$P$(1,−1,0,…,0)

$(1,-1,0,\dots ,0)$

$(1,-1,0,\ldots,0)$1

$1$

$1$−1

$-1$

$-1$

와 의 “즉시 이웃”의 구성이 동일하다는 것을 알 수 , 와 가 합치합니다.B V A V BA

$A$

$A$B

$B$

$B$VA

$V_A$

$V_A$VB

$V_B$

$V_B$

경우 , 우리가 동일한 게임을 플레이 할 수 및 예를 들어 .A = ( 2 , 2 , n – 4 , 0 , … , 0 ) B = ( 3 , 1 , n – 4 , 0 , … , 0 )n≥5

$n\ge 5$

$n \geq 5$A=(2,2,n−4,0,…,0)

$A=(2,2,n-4,0,\dots ,0)$

$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$B=(3,1,n−4,0,…,0)

$B=(3,1,n-4,0,\dots ,0)$

$B=(3,1,n-4,0,\ldots,0)$

나는이 주장이 완전히 명백하다고 생각하지 않으며, 약간 다른 전략 대신에 그것을 증명하지 않을 것이다. 그러나 이것이 대한 분포가 다른 이유에 대한보다 직관적 인 답변이라고 생각합니다 .n≥4

$n\ge 4$

$n \geq 4$

엄격한 증거

위의 비공식적 정당성에서 와 같이 와 를 취하십시오 . 와 가 하다는 것을 증명하면 됩니다.B V A V BA

$A$

$A$B

$B$

$B$VA

$V_A$

$V_A$VB

$V_B$

$V_B$

감안 , 우리는를 정의한다 다음과 같이 점의 집합 인 ,되는 . (더 소화하기 방식으로 : . 는 최고 와 최저 차이가 1보다 작은 지점 세트입니다 .)W P W P ( X 1 , … , X의 N은 ) ∈ S 최대 1 ≤ i가 ≤ N ( I – P I ) – 최소 1 ≤ I ≤ N ( 을 i − p i ) < 1 v i = aP=(p1,…,pn)∈Λ

$P=(p_1,\dots ,p_n)\in \mathrm{\Lambda }$

$P = (p_1, \ldots, p_n) \in \Lambda$WP

$W_P$

$W_P$WP

$W_P$

$W_P$(x1,…,xn)∈S

$(x_1,\dots ,x_n)\in S$

$(x_1, \ldots, x_n) \in S$max1≤i≤n(ai−pi)−min1≤i≤n(ai−pi)<1

$\underset{1\le i\le n}{max}(a_i-p_i)-\underset{1\le i\le n}{min}(a_i-p_i)<1$

$\max_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) - \min_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) < 1$W P v ivi=ai−pi

$v_i=a_i-p_i$

$v_i = a_i - p_i$WP

$W_P$

$W_P$vi

$v_i$

$v_i$

우리는 것을 보여줍니다 .VP=WP

$V_P=W_P$

$V_P = W_P$

1 단계

클레임 : .VP⊆WP

$V_P\subseteq W_P$

$V_P \subseteq W_P$

이것은 매우 간단합니다 : 그 가정 하지 않을 . 하자 하고, (일반성의 손실없이) 가정이 , . 부터 , 우리는 또한 알고 .W P v i = x i − p i v 1 = max 1 ≤ i ≤ n v i v 2 = min 1 ≤ i ≤ n v i v 1 − v 2 ≥ 1 ∑ n i = 1 v i = 0 v 1X=(x1,…,xn)

$X=(x_1,\dots ,x_n)$

$X = (x_1, \ldots, x_n)$WP

$W_P$

$W_P$vi=xi−pi

$v_i=x_i-p_i$

$v_i = x_i - p_i$v1=max1≤i≤nvi

$v_1=\underset{1\le i\le n}{max}{v}_i$

$v_1 = \max_{1\leq i\leq n} v_i$v2=min1≤i≤nvi

$v_2=\underset{1\le i\le n}{min}{v}_i$

$v_2 = \min_{1\leq i\leq n} v_i$v1−v2≥1

$v_1-v_2\ge 1$

$v_1 - v_2 \geq 1$∑ni=1vi=0

$\sum _{i=1}^n{v}_i=0$

$\sum_{i=1}^n v_i = 0$v1>0>v2

$v_1>0>v_2$

$v_1 > 0 > v_2$

이제 . 이후 및 음이 아닌 좌표가 모두 그렇게 , 그리고 그 다음 따라서 그리고 . 한편, 입니다. 따라서 는 와 최소한 가깝기 때문에 . 이것은 를 보완 합니다.P X Q Q ∈ S Q ∈ Λ는 거라고 I S t (2) ( X , P ) - D 나 S t (2) ( X , Q가 ) = v 2 1 + v 2 2 − (Q=(p1+1,p2−1,p3,…,pn)

$Q=(p_1+1,p_2-1,p_3,\dots ,p_n)$

$Q = (p_1 + 1, p_2 - 1, p_3, \ldots, p_n)$P

$P$

$P$X

$X$

$X$Q

$Q$

$Q$Q∈S

$Q\in S$

$Q \in S$Q∈Λ

$Q\in \mathrm{\Lambda }$

$Q \in \Lambda$X Q P X ∉ V P V p ⊆ W Pdist2(X,P)−dist2(X,Q)=v21+v22−(1−v1)2−(1+v2)2=−2+2(v1−v2)≥0

${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}}^2(X,P)-{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}}^2(X,Q)=v_1^2+v_2^2-(1-v_1{)}^2-(1+v_2{)}^2=-2+2(v_1-v2)\ge 0$

$\mathrm{dist}^2(X, P) - \mathrm{dist}^2(X, Q) = v_1^2 + v_2^2 - (1-v_1)^2 - (1+v_2)^2 = -2 + 2(v_1 - v2) \geq 0$X

$X$

$X$Q

$Q$

$Q$P

$P$

$P$X∉VP

$X\notin V_P$

$X \not\in V_P$Vp⊆WP

$V_p\subseteq W_P$

$V_p \subseteq W_P$

2 단계

주장 : 는 쌍으로 분리되어 있습니다.WP

$W_P$

$W_P$

그렇지 않다고 가정하십시오. 하자 및 에서 별개의 포인트 수 및하자 . 이후 와 에서 뚜렷하고 모두 ,이 있어야 하나 개의 인덱스 여기서 , 한 곳 . 일반성을 잃지 않으면 서 및 가정합니다 . 재정렬하고 합하면 됩니다.Q = ( q 1 , … , q n ) Λ X ∈ W P ∩ W Q P Q Λ i p i ≥ q i + 1 p i ≤ q i - 1 p 1 ≥ q 1 + 1 p 2 ≤ q 2 −P=(p1,…,pn)

$P=(p_1,\dots ,p_n)$

$P=(p_1,\ldots, p_n)$Q=(q1,…,qn)

$Q=(q_1,\dots ,q_n)$

$Q = (q_1,\ldots,q_n)$Λ

$\mathrm{\Lambda }$

$\Lambda$X∈WP∩WQ

$X\in W_P\cap W_Q$

$X \in W_P \cap W_Q$P

$P$

$P$Q

$Q$

$Q$Λ

$\mathrm{\Lambda }$

$\Lambda$i

$i$

$i$pi≥qi+1

$p_i\ge q_i+1$

$p_i \geq q_i + 1$pi≤qi−1

$p_i\le q_i-1$

$p_i \leq q_i - 1$p1≥q1+1

$p_1\ge q_1+1$

$p_1 \geq q_1 + 1$q 1 − p 1 + p 2 − q 2 ≥ 2p2≤q2−1

$p_2\le q_2-1$

$p_2 \leq q_2 - 1$q1−p1+p2−q2≥2

$q_1-p_1+p_2-q_2\ge 2$

$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 \geq 2$

이제 숫자 과 고려하십시오 . 사실 그에서 우리가 . 마찬가지로 는 임을 의미합니다 . 이것들을 합하면 가되고 모순이 .x 2 X ∈ W P x 1 − p 1 − ( x 2 − p 2 ) < 1 X ∈ W Q x 2 − q 2 − ( x 1 − q 1 ) < 1 q 1 − p 1 + p 2 − q 2 < 2x1

$x_1$

$x_1$x2

$x_2$

$x_2$X∈WP

$X\in W_P$

$X \in W_P$x1−p1−(x2−p2)<1

$x_1-p_1-(x_2-p_2)<1$

$x_1 - p_1 - (x_2 - p_2) < 1$X∈WQ

$X\in W_Q$

$X \in W_Q$x2−q2−(x1−q1)<1

$x_2-q_2-(x_1-q_1)<1$

$x_2 - q_2 - (x_1 - q_1) < 1$q1−p1+p2−q2<2

$q_1-p_1+p_2-q_2<2$

$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 < 2$

3 단계

우리는 이고 는 분리 되어 있음을 보여 . 커버 계수 제로 세트에 근접하고 그 다음 (제로 계수들의 세트까지). [ 와 가 둘 다 열려 있기 때문에 실제로 정확히 갖지만 필수는 아닙니다.]W P V P S W P = V P W P V P W P = V PVP⊆WP

$V_P\subseteq W_P$

$V_P \subseteq W_P$WP

$W_P$

$W_P$VP

$V_P$

$V_P$S

$S$

$S$WP=VP

$W_P=V_P$

$W_P = V_P$WP

$W_P$

$W_P$VP

$V_P$

$V_P$WP=VP

$W_P=V_P$

$W_P = V_P$

이제 거의 끝났습니다. 점 및 . 와 가 이고 서로 번역되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 차이가 될 수있는 유일한 방법은 의 경계 ( 와 가있는 얼굴 이외의 얼굴 )가``잘리는 ''것입니다 하나 또는 그러나 다른 없습니다. 그러나 경계의 이러한 부분에 도달 하려면 또는 의 하나의 좌표 를 적어도 1만큼 변경해야 에서B = ( 3 , 1 , n - 4 , 0 , … , 0 ) W A W B S A B W A W B S A B W A W B S A B W A W B W AA=(2,2,n−4,0,…,0)

$A=(2,2,n-4,0,\dots ,0)$

$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$B=(3,1,n−4,0,…,0)

$B=(3,1,n-4,0,\dots ,0)$

$B = (3,1,n-4,0,\ldots,0)$WA

$W_A$

$W_A$WB

$W_B$

$W_B$S

$S$

$S$A

$A$

$A$B

$B$

$B$WA

$W_A$

$W_A$WB

$W_B$

$W_B$S

$S$

$S$A

$A$

$A$B

$B$

$B$WA

$W_A$

$W_A$및 어쨌든. 따라서, 비록 유리한 점에서 보면 서로 다른 작업을 수행 와 의 차이의 정의에 의해 픽업되기에 너무 멀리 떨어져 및 , 따라서 및 합동이다.WB

$W_B$

$W_B$S

$S$

$S$A

$A$

$A$B

$B$

$B$WA

$W_A$

$W_A$WB

$W_B$

$W_B$WA

$W_A$

$W_A$WB

$W_B$

$W_B$

이 것을 다음 다음 및 그들이 다항 모델에서 서로 다른 확률에도 불구하고, 동일한 볼륨, 따라서 디리클레 모델 양수인들에게 동일한 확률을 가지고있다.V BVA

$V_A$

$V_A$VB

$V_B$

$V_B$

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