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랜덤 변수 의 관찰되지 않은 실현 에 대해 추론하려고한다고 가정하자. $x$

x

$x$ $\tilde{x}$

\tilde{x}

$\tilde x$ 일반적으로 평균과 분산, $μ_{x}$

μ_{x}

$\mu_x$ 그리고 분산 $σ_{x}^{2}$

σ_{x}^{2}

$\sigma^2_x$ . 다른 임의의 변수가 있다고 가정 $\tilde{y}$

\tilde{y}

$\tilde y$ (우리는 관찰되지 않은 실현을 비슷하게 부를 것입니다. $y$

y

$y$ ) 일반적으로 평균으로 분포 $μ_{y}$

μ_{y}

$\mu_y$ 그리고 분산 $σ_{y}^{2}$

σ_{y}^{2}

$\sigma^2_y$ . 허락하다 $σ_{x y}$

σ_{x y}

$\sigma_{xy}$ 공분산이다 $\tilde{x}$

\tilde{x}

$\tilde x$ 과 $\tilde{y}$

\tilde{y}

$\tilde y$ .

이제 신호를 관찰한다고 가정 해 봅시다. $x$

x

$x$ ,

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$
어디 $\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$ 및 신호 켜짐 $y$

y

$y$ ,

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$
어디 $\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$ . 그 가정 $\tilde{u}$

\tilde{u}

$\tilde u$ 과 $\tilde{v}$

\tilde{v}

$\tilde v$ 독립적입니다.

분포는 무엇입니까 $x$

x

$x$ 조건부 $a$

a

$a$ 과 $b$

b

$b$ ?

내가 지금까지 알고있는 것 :
역 분산 가중치 사용

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$
과

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

이후 $x$

x

$x$ 과 $y$

y

$y$ 공동으로 그려지고 $b$

b

$b$ 에 대한 정보를 가지고 있어야합니다 $x$

x

$x$ . 이것을 깨닫는 것 외에도 나는 붙어 있습니다. 도움을 주셔서 감사합니다!

답변

역 분산 가중 수식이 여기에 적용되는지 확실하지 않습니다. 그러나 조건부 분포를 계산할 수 있다고 생각합니다. $x$

x

$x$ 주어진 $a$

a

$a$ 과 $b$

b

$b$ 그것을 가정함으로써 $x$

x

$x$ , $y$

y

$y$ , $a$

a

$a$ 과 $b$

b

$b$ 공동 다변량 정규 분포를 따릅니다.

특히 (질문에 지정된 내용과 호환 가능) 가정하면

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$
그런 다음 $a = x + u$

a = x + u

$a=x+u$ 과 $b = y + v$

b = y + v

$b=y+v$ , 당신은 그것을 찾을 수 있습니다

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$
(위에서 그것은 암묵적으로 가정합니다. $u$

u

$u$ 과 $v$

v

$v$ 서로 독립적이며 또한 $x$

x

$x$ 과 $y$

y

$y$ .)

이것에서 당신은 조건부 분포를 찾을 수 있습니다 $x$

x

$x$ 주어진 $a$

a

$a$ 과 $b$

b

$b$ 다변량 정규 분포의 표준 속성을 사용합니다 (예 : http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions 참조 ).

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역 분산 가중치에 대한 질문 가정 해 봅시다.

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