기술적 인 정리

이것이 얼마나 직관적인지 확실하지 않지만 Halmos-Savage Theorem에 대한 진술의 기본 기술적 결과는 다음과 같습니다.

렘마
하자 수 에 -finite 계수 . 가 모든 , 에 대해 에 대한 측정 모음 이라고 가정하십시오 . 이어서 비음 수들의 시퀀스가 존재 및 요소들의 시퀀스 , 되도록 및 마다 .μ

$\mu$

$\mu$σ

$\sigma$

$\sigma$(S,A)

$(S,\mathcal{A})$

$(S, \mathcal{A})$ℵ

$\mathrm{\aleph }$

$\aleph$(S,A)

$(S,\mathcal{A})$

$(S, \mathcal{A})$ν∈ℵ

$\nu \in \mathrm{\aleph }$

$\nu \in \aleph$ν≪μ

$\nu \ll \mu$

$\nu \ll \mu${ci}∞i=1

$\{c_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{c_i\}_{i=1}^\infty$ℵ

$\mathrm{\aleph }$

$\aleph${νi}∞i=1

$\{{\nu }_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{\nu_i\}_{i=1}^\infty$∑∞i=1ci=1

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i=1$

$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ν≪∑∞i=1ciνi

$\nu \ll \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i{\nu }_i$

$\nu \ll \sum_{i=1}^\infty c_i \nu_i$ν∈ℵ

$\nu \in \mathrm{\aleph }$

$\nu \in \aleph$

이것은 Schervish ‘s Statistics Theory of Statistics (1995) 의 정리 A.78에서 그대로 사용됩니다 . 그 결과 그는 그것을 Lehmann ‘s Testing Statistical Hypotheses (1986) ( 제 3 판에 링크 )에서 기인했으며, 그 결과는 Halmos와 Savage 자체에 기인 한다 (Lemma 7 참조). 또 다른 좋은 참고 자료는 Shao의 수학적 통계 (2003 년 제 2 판) 이며, 관련 결과는 Lemma 2.1 및 Theorem 2.2입니다.

위의 정리는 finite 측정에 의해 지배되는 측정 패밀리로 시작하면 실제로 지배적 인 측정을 패밀리 내에서 셀 수있는 볼록한 측정 조합으로 대체 할 수 있다고 말합니다. 셰르 비쉬는 정리 A.78을 말하기 전에 글을 쓴다.σ

$\sigma$

$\sigma$

“통계 응용 프로그램에는 종종 단일 -finite 측정 과 관련하여 절대적으로 연속적인 측정 클래스 가 있습니다. 단일 지배 측정이 원래 클래스에 있거나 다음에서 구성 될 수 있다면 좋을 것입니다. 다음 정리에서이 문제를 해결했습니다. “σ

$\sigma$

$\sigma$

구체적인 예

알 수없는 대해 간격으로 균일하게 분포되어 있다고 생각되는 수량 를 측정한다고 가정 합니다. 이 통계적 문제에서, 우리는 형식의 모든 구간에서 균일 한 분포로 구성된 에 대한 Borel 확률 측정의 설정을 암시 적으로 고려합니다 . 즉, Lebesgue 측정 값을 나타내고 경우 는 분포 (즉,
X

$X$

$X$[0,θ]

$[0,\theta ]$

$[0, \theta]$θ>0

$\theta >0$

$\theta > 0$P

$\mathcal{P}$

$\mathcal{P}$R

$\mathbb{R}$

$\mathbb{R}$[0,θ]

$[0,\theta ]$

$[0, \theta]$λ

$\lambda$

$\lambda$θ>0

$\theta >0$

$\theta > 0$Pθ

$P_{\theta }$

$P_\theta$Uniform([0,θ])

$\mathrm{Uniform}([0,\theta ])$

$\operatorname{Uniform}([0, \theta])$

$$P_\theta(A) = \frac{1}{\theta} \lambda(A \cap [0, \theta]) = \int_A \frac{1}{\theta} \mathbf{1}_{[0, \theta]}(x) \, dx$$
모든 Borel 대해 이면

이것은 측정 대한 후보 분포 세트입니다 .A⊆R

$A\subseteq \mathbb{R}$

$A \subseteq \mathbb{R}$

$$\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta > 0\}.$$ X

$X$

$X$

패밀리 는 Lebesgue 측정 값 ( -finite 임)에 의해 지배 되므로 위의 정리 ( )는 시퀀스의 존재를 보장합니다 에 합산 비음 번호 및 서열 균일 분포 되도록

각 . 이 예제에서는 이러한 시퀀스를 명시 적으로 구성 할 수 있습니다!P

$\mathcal{P}$

$\mathcal{P}$λ

$\lambda$

$\lambda$σ

$\sigma$

$\sigma$ℵ=P

$\mathrm{\aleph }=\mathcal{P}$

$\aleph = \mathcal{P}${ci}∞i=1

$\{c_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{c_i\}_{i=1}^\infty$1

$1$

$1${Qi}∞i=1

$\{Q_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{Q_i\}_{i=1}^\infty$P

$\mathcal{P}$

$\mathcal{P}$

$$P_\theta \ll \sum_{i=1}^\infty c_i Q_i$$ θ>0

$\theta >0$

$\theta > 0$

먼저 양의 유리수의 열거 형으로 지정하고 ( 명시 적으로 수행 할 수 있음 ) 각 에 대해 로 설정하십시오 . 다음으로 로 설정하여 합니다. 와 조합이 작동한다고 주장 합니다.(θi)∞i=1

$({\theta }_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$(\theta_i)_{i=1}^\infty$ Q i = P θ i i c i = 2 − i ∑ ∞ i = 1 c i = 1 { c i } ∞ i = 1 { Q i } ∞ i = 1Qi=Pθi

$Q_i=P_{{\theta }_i}$

$Q_i = P_{\theta_i}$i

$i$

$i$ci=2−i

$c_i=2^{-i}$

$c_i = 2^{-i}$∑∞i=1ci=1

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i=1$

$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1${ci}∞i=1

$\{c_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{c_i\}_{i=1}^\infty${Qi}∞i=1

$\{Q_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{Q_i\}_{i=1}^\infty$

이를 확인하려면 수정 하고 를 이되도록 의 Borel 하위 세트로 . 임을 보여 주어야합니다 . 이후 및 피가수 각이 음수가 아닌, 그것은 그 다음된다 각각 . 또한, 각 가 양수이므로, 각각의 에 대해 을 따릅니다 . 즉, 모든 우리가

각 버젼을θ>0

$\theta >0$

$\theta > 0$A

$A$

$A$R

$\mathbb{R}$

$\mathbb{R}$∑∞i=1ciQi(A)=0

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i{Q}_i(A)=0$

$\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$Pθ(A)=0

$P_{\theta }(A)=0$

$P_\theta(A) = 0$∑∞i=1ciQi(A)=0

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i{Q}_i(A)=0$

$\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$ciQi(A)=0

$c_i{Q}_i(A)=0$

$c_i Q_i(A) = 0$i

$i$

$i$ci

$c_i$

$c_i$Qi(A)=0

$Q_i(A)=0$

$Q_i(A) = 0$i

$i$

$i$i

$i$

$i$

$$Q_i(A) = P_{\theta_i}(A) = \frac{1}{\theta_i} \lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0.$$ θi

${\theta }_i$

$\theta_i$양수이면 각 에 대해 을 따릅니다 .λ(A∩[0,θi])=0

$\lambda (A\cap [0,{\theta }_i])=0$

$\lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0$i

$i$

$i$

이제 하위 시퀀스 의 를 선택 하여 위에서 로 수렴합니다 (이 작업을 수행 할 수 있음) 이후 이다 조밀에서 ). 그런 다음 를 로 측정의 연속성을 통해

이므로 입니다. 이것은 주장을 증명합니다.{θik}∞k=1

$\{{\theta }_{i_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{\theta_{i_k}\}_{k=1}^\infty${θi}∞i=1

$\{{\theta }_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{\theta_i\}_{i=1}^\infty$θ

$\theta$

$\theta$Q

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{Q}$R

$\mathbb{R}$

$\mathbb{R}$A∩[0,θθik]↓A∩[0,θ]

$A\cap [0,{\theta }_{{\theta }_{i_k}}]\downarrow A\cap [0,\theta ]$

$A \cap [0, \theta_{\theta_{i_k}}] \downarrow A \cap [0, \theta]$k→∞

$k\to \mathrm{\infty }$

$k \to \infty$

$$\lambda(A \cap [0, \theta]) = \lim_{k \to \infty} \lambda(A \cap [0, \theta_{i_k}]) = 0,$$ Pθ(A)=0

$P_{\theta }(A)=0$

$P_\theta(A) = 0$

따라서,이 예에서 우리는 여전히 전체 가족을 지배하는 지배적 인 가족으로부터 확률 측정의 계산 가능한 볼록한 조합을 명시 적으로 구성 할 수있었습니다. 위의 Lemma 는 모든 지배 가족에 대해 (최소한 지배 조치가 -finite 인 한) 수행 될 수 있음을 보증 합니다 .σ

$\sigma$

$\sigma$

할 모사 비지 정리

이제 Halmos-Savage Theorem (개인 취향으로 인해 질문에서 약간 다른 표기법을 사용합니다)으로 넘어갑니다. Halmos-Savage 정리를 감안할 때 Fisher-Neyman 인수 분해 정리는 Doob-Dynkin 보조 정리와 Radon-Nikodym 파생 상품에 대한 연쇄 규칙의 하나의 적용에 불과합니다!

할 모사 비지 정리.
하자 것을 의미 지배 통계 모델 (BE 의 가능성을 측정의 세트이다 와 거기를 -finite 측정 에 이되도록 모든 ). 하자 수 측정 가능한 함수 이며 표준 보렐 우주. 그런 다음 다음과 같습니다.(X,B,P)

$(\mathcal{X},\mathcal{B},\mathcal{P})$

$(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mathcal{P})$P

$\mathcal{P}$

$\mathcal{P}$B

$\mathcal{B}$

$\mathcal{B}$σ

$\sigma$

$\sigma$μ

$\mu$

$\mu$B

$\mathcal{B}$

$\mathcal{B}$P≪μ

$P\ll \mu$

$P \ll \mu$P∈P

$P\in \mathcal{P}$

$P \in \mathcal{P}$T:(X,B)→(T,C)

$T:(\mathcal{X},\mathcal{B})\to (\mathcal{T},\mathcal{C})$

$T : (\mathcal{X}, \mathcal{B}) \to (\mathcal{T}, \mathcal{C})$(T,C)

$(T,\mathcal{C})$

$(T, \mathcal{C})$

1. T
   $T$

   $T$ 충분 확률 커널이 있다는 의미 ( 되도록 버전이다 모든 및 대한 ).P

   $\mathcal{P}$

   $\mathcal{P}$r:B×T→[0,1]

   $r:\mathcal{B}\times \mathcal{T}\to [0,1]$

   $r : \mathcal{B} \times \mathcal{T} \to [0, 1]$r(B,T)

   $r(B,T)$

   $r(B, T)$P(B∣T)

   $P(B\mid T)$

   $P(B \mid T)$B∈B

   $B\in \mathcal{B}$

   $B \in \mathcal{B}$P∈P

   $P\in \mathcal{P}$

   $P \in \mathcal{P}$

2. 서열이 존재 음이 아닌 숫자를되도록 및 서열 의 확률 대책 되도록 모든 여기서, 및 각 대해 측정 가능한 버전이 있습니다.{ci}∞i=1
   $\{c_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

   $\{c_i\}_{i=1}^\infty$∑∞i=1ci=1

   $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i=1$

   $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1${Pi}∞i=1

   $\{P_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

   $\{P_i\}_{i=1}^\infty$P

   $\mathcal{P}$

   $\mathcal{P}$P≪P∗

   $P\ll P^{\ast }$

   $P \ll P^*$P∈P

   $P\in \mathcal{P}$

   $P \in \mathcal{P}$P∗=∑∞i=1ciPi

   $P^{\ast }=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i{P}_i$

   $P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$P∈P

   $P\in \mathcal{P}$

   $P \in \mathcal{P}$T

   $T$

   $T$dP/dP∗

   $dP/d{P}^{\ast }$

   $dP/dP^*$

증명.
위의 정리로, 우리는 즉시 를 로 대체 할 수 있습니다. 일부 시퀀스 는 음수가 아닌 숫자의 및 서열 의 확률 대책 .μ

$\mu$

$\mu$P∗=∑∞i=1ciPi

$P^{\ast }=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i{P}_i$

$P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i${ci}∞i=1

$\{c_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{c_i\}_{i=1}^\infty$∑∞i=1ci=1

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_i=1$

$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1${Pi}∞i=1

$\{P_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$

$\{P_i\}_{i=1}^\infty$P

$\mathcal{P}$

$\mathcal{P}$

가 충분하다고 가정하자 . 그런 다음 모든 대해 측정 가능한 버전 이 있음을 보여 주어야합니다 . 정리의 설명에서 확률 커널 이라고하자 . 각 및 대해

따라서 는 모든 대한 의 버전입니다 .T

$T$

$T$T

$T$

$T$dP/dP∗

$dP/d{P}^{\ast }$

$dP/dP^*$P∈P

$P\in \mathcal{P}$

$P \in \mathcal{P}$r

$r$

$r$A∈σ(T)

$A\in \sigma (T)$

$A \in \sigma(T)$B∈B

$B\in \mathcal{B}$

$B \in \mathcal{B}$

$$\begin{aligned} P^*(A \cap B) &= \sum_{i=1}^\infty c_i P_i(A \cap B) \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A P_i(B \mid T) \, dP_i \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A r(B, T) \, dP_i \\ &= \int_A r(B, T) \, dP^*. \end{aligned}$$ r(B,T)

$r(B,T)$

$r(B, T)$P∗(B∣T)

$P^{\ast }(B\mid T)$

$P^*(B \mid T)$B∈B

$B\in \mathcal{B}$

$B \in \mathcal{B}$

각 에 대해 는 측정 가능한 공간 의 라돈-니코 딤 파생물 의 버전을 나타냅니다 (특히 는 측정 가능). 모든 및 대해

따라서 실제로 는P∈P

$P\in \mathcal{P}$

$P \in \mathcal{P}$fP

$f_P$

$f_P$dP/dP∗

$dP/d{P}^{\ast }$

$dP/dP^*$(X,σ(T))

$(\mathcal{X},\sigma (T))$

$(\mathcal{X}, \sigma(T))$fP

$f_P$

$f_P$T

$T$

$T$B∈B

$B\in \mathcal{B}$

$B \in \mathcal{B}$P∈P

$P\in \mathcal{P}$

$P \in \mathcal{P}$

$$\begin{aligned} P(B) &= \int_{\mathcal{X}} P(B \mid T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_B f_P \, dP^*. \end{aligned}$$ fP

$f_P$

$f_P$T

$T$

$T$-measurable 버전의 에 . 이것은 정리의 첫 번째 조건이 두 번째 조건을 의미 함을 증명합니다.dP/dP∗

$dP/d{P}^{\ast }$

$dP/dP^*$(X,B)

$(\mathcal{X},\mathcal{B})$

$(\mathcal{X}, \mathcal{B})$

하나는 선택할 수있는 가정 (2. 1을 의미) -measurable 버전 의 각 . 각 에 대해 는 의 특정 버전을 나타냅니다 (예 : 는 는 는 ) 의 버전입니다 . 이후 표준 보렐 공간이, 우리가 선택할 수 있습니다 그 확률 커널을 만드는 방법 (참조, 예를 들어, Schervish의에서 정리 B.32 통계의 이론 (1995)). 우리는T

$T$

$T$fP

$f_P$

$f_P$dP/dP∗

$dP/d{P}^{\ast }$

$dP/dP^*$P∈P

$P\in \mathcal{P}$

$P \in \mathcal{P}$B∈B

$B\in \mathcal{B}$

$B \in \mathcal{B}$r(B,t)

$r(B,t)$

$r(B, t)$P∗(B∣T=t)

$P^{\ast }(B\mid T=t)$

$P^*(B \mid T = t)$r(B,t)

$r(B,t)$

$r(B, t)$r(B,T)

$r(B,T)$

$r(B, T)$P∗(B∣T)

$P^{\ast }(B\mid T)$

$P^*(B \mid T)$(T,C)

$(T,\mathcal{C})$

$(T, \mathcal{C})$r

$r$

$r$r(B,T)

$r(B,T)$

$r(B, T)$ 및 대한 의 버전입니다 . 따라서 및 를 지정하십시오. 모든 대해

이것은 가 및 대한 의 버전이며 증명은 다음과 같습니다. 끝난.P(B∣T)

$P(B\mid T)$

$P(B \mid T)$P∈P

$P\in \mathcal{P}$

$P \in \mathcal{P}$B∈B

$B\in \mathcal{B}$

$B \in \mathcal{B}$A∈σ(T)

$A\in \sigma (T)$

$A \in \sigma(T)$B∈B

$B\in \mathcal{B}$

$B \in \mathcal{B}$P∈P

$P\in \mathcal{P}$

$P \in \mathcal{P}$

$$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \int_A \mathbf{1}_B f_P \, dP^* \\ &= \int_A E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_A P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) \, dP. \end{aligned}$$ r(B,T)

$r(B,T)$

$r(B, T)$P(B∣T)

$P(B\mid T)$

$P(B \mid T)$P∈P

$P\in \mathcal{P}$

$P \in \mathcal{P}$B∈B

$B\in \mathcal{B}$

$B \in \mathcal{B}$

요약.
여기에 제시된 Halmos-Savage 정리의 기초가되는 중요한 기술적 결과는 지배적 인 확률 측정 패밀리가 실제로 해당 패밀리의 확률 측정의 계산 가능한 볼록한 조합에 의해 지배된다는 사실입니다. 그 결과, Halmos-Savage 정리의 나머지 부분은 대부분 Radon-Nikodym 파생 상품의 기본 속성과 조건부 기대를 사용한 조작입니다.

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