역 Ackermann 함수는 알고리즘을 분석 할 때 자주 발생합니다. 그것의 좋은 발표는 여기에 있습니다 : http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann .
내 질문은 : 함수 무엇입니까?
분명히 입니다. 에 어떤 더 엄격한 경계를 줄 수 있습니까? 가요 ?1 ≪ k ( n ) ≤ α ( n ) k ( n ) k ( n ) ≤ log α ( n )
답변
하자 의 역 할 . 입니다. 라고 주장합니다 .α k A 1 ( x ) = 2 x , A 2 ( x ) = 2 x , … k − 1 ( x ) = A x ( x )
이후 , 이후 , . 결과적으로 입니다.∀ z , α y ( z ) > α x ( z ) α y ( A x ( x ) ) > α x ( A x ( x ) ) = x k ( A x ( x ) ) = x
이제 의 값을 고려하십시오 . 의 정의에 의해 , 이것이 . 우리는 알고있다 , 그래서 . 이라고 주장합니다 . 입니다. 이제 이므로 입니다. 이후 , 그래서 . 따라서α 분 Z { α Z ( N ( N ) ) ≤ 3 } α N ( N ( N ) ) = N α ( N ( n ) ) > n α ( A n ( n
α N + 1 ( N ( N ) ) = 1 + α N + 1 ( N ) α ( N ) = 분 Z { α Z ( N ) ≤ 3 } α α ( N ) ( N ) ≤ 3 n + 1 > α ( n )
α N + 1 ( N ( N ) ) ≤ 4 α N + 2 ( N ( N ) ) = 1 + α N + 2 ( α , N + 1 ( N ) ) ≤ 1 + α n + 2 ( 4 ) ≤ 3
.
따라서 우리는 이므로 와 는 본질적으로 같습니다.k α
답변
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이 함수에 매우 가까운 함수는 " " 라고 불리며 Pettie의 "Splay Trees, Davenport-Schinzel Sequences 및 Deque Conjecture" 에서 " deque 작업 [splay tree]에서 단지 시간. 여기서 은 에 상수를 매핑하는 역 Ackermann 함수의 최소 적용 횟수입니다 . " N O ( N α * ( N ) ) α * ( N ) N
이 함수는 매우 느리게 성장하며 보다 느리게 성장 합니다. 함수를 고려하십시오.f : N → N
이 함수는 만큼 빠르게 성장 하므로 보다 느리게 성장 합니다. 이제 및 을 평가하겠습니다 .A ' ( n ) = A ( n , n ) log α ( n ) α ∗ ( n ) A ' ( f ( n ) )
이후 , 보다 훨씬 빠르기 때문에 성장 .log α ( n ) α ∗ ( n )