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역 Ackermann 함수는 알고리즘을 분석 할 때 자주 발생합니다. 그것의 좋은 발표는 여기에 있습니다 : http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann .

α 1 (n) = [n / 2]

α 2 (n) = [log 2 n]

α 3 (n) = log * n

. . .

α k (n) = 1 + α k (α k - 1 (n))

α (n) = min {k : α k (n) \leq 3}

내 질문은 : 함수 무엇입니까?

분명히 입니다. 에 어떤 더 엄격한 경계를 줄 수 있습니까? 가요 ?

k (n) = min {k : α k (n) \leq k}

$1 ≪ k (n) \leq α (n)$

1≪k(n)≤α(n)

$k (n)$

k(n)

$k (n) \leq \log α (n)$

k(n)≤log⁡α(n)

답변

하자 의 역 할 . 입니다. 라고 주장합니다 . $A_{k}$

$α_{k}$

αk

$A_{1} (x) = 2 x, A_{2} (x) = 2^{x}, \dots$

A1(x)=2x,A2(x)=2x,…

$k^{- 1} (x) = A_{x} (x)$

k−1(x)=Ax(x)

이후 , 이후 , . 결과적으로 입니다. $x = α_{x} (A_{x} (x))$

x=αx(Ax(x))

$\forall z, α_{y} (z) > α_{x} (z)$

∀z,αy(z)>αx(z)

$α_{y} (A_{x} (x)) > α_{x} (A_{x} (x)) = x$

αy(Ax(x))>αx(Ax(x))=x

$k (A_{x} (x)) = x$

k(Ax(x))=x

이제 의 값을 고려하십시오 . 의 정의에 의해 , 이것이 . 우리는 알고있다 , 그래서 . 이라고 주장합니다 . 입니다. 이제 이므로 입니다. 이후 , 그래서 . 따라서 $α (k^{- 1} (n)) = α (A_{n} (n))$

α(k−1(n))=α(An(n))

$α$

$min_{z} {α_{z} (A_{n} (n)) \leq 3}$

minz{αz(An(n))≤3}

$α_{n} (A_{n} (n)) = n$

αn(An(n))=n

$α (A_{n} (n)) > n$

α(An(n))>n

$α (A_{n} (n)) \leq n + 2$

α(An(n))≤n+2

$α_{n + 1} (A_{n} (n)) = 1 + α_{n + 1} (n)$

αn+1(An(n))=1+αn+1(n)

$α (n) = min_{z} {α_{z} (n) \leq 3}$

α(n)=minz{αz(n)≤3}

$α_{α (n)} (n) \leq 3$

αα(n)(n)≤3

$n + 1 > α (n)$

n+1>α(n)

$α_{n + 1} (n) \leq 3$

αn+1(n)≤3

$α_{n + 1} (A_{n} (n)) \leq 4$

αn+1(An(n))≤4

$α_{n + 2} (A_{n} (n)) = 1 + α_{n + 2} (α_{n + 1} (n)) \leq 1 + α_{n + 2} (4) \leq 3$

αn+2(An(n))=1+αn+2(αn+1(n))≤1+αn+2(4)≤3

따라서 우리는 이므로 와 는 본질적으로 같습니다. $n < α (k^{- 1} (n)) \leq n + 2$

n<α(k−1(n))≤n+2

$k$

$α$

답변

이것은 올바르지 않습니다. 의견을 참조하십시오.

이 함수에 매우 가까운 함수는 " " 라고 불리며 Pettie의 "Splay Trees, Davenport-Schinzel Sequences 및 Deque Conjecture" 에서 " deque 작업 [splay tree]에서 단지 시간. 여기서 은 에 상수를 매핑하는 역 Ackermann 함수의 최소 적용 횟수입니다 . " $α^{*}$

α∗

$n$

$O (n α^{*} (n))$

O(nα∗(n))

$α^{*} (n)$

α∗(n)

$n$

이 함수는 매우 느리게 성장하며 보다 느리게 성장 합니다. 함수를 고려하십시오. $\log α (n)$

log⁡α(n)

$f : N \to N$

f:N→N

f (n) = {1 2 f (n - 1) n = 0 n > 0

이 함수는 만큼 빠르게 성장 하므로 보다 느리게 성장 합니다. 이제 및 을 평가하겠습니다 . $A (4, n)$

A(4,n)

$A^{'} (n) = A (n, n)$

A′(n)=A(n,n)

$\log α (n)$

log⁡α(n)

$α^{*} (n)$

α∗(n)

$A^{'} (f (n))$

A′(f(n))

log α (A' (f (n))) = log f (n) = f (n - 1)

α * (A' (f (n))) = 1 + α * (f (n)) < 1 + α * (A' (n)) < 2 + α * (n)

~~이후 , 보다 훨씬 빠르기 때문에 성장 . $f (n - 1) \in ω (2 + α^{*} (n))$~~

f(n−1)∈ω(2+α∗(n))

$\log α (n)$

log⁡α(n)

$α^{*} (n)$

α∗(n)

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