확률 이론 및 통계의 가장 유명한 결과 중 하나를 발견했습니다. 이 사이트에서이 질문을하기 전에 질문에 대한 답변을 드리겠습니다.

우선, 노트의 PDF 것을 Y=X2

$Y=X^2$

$Y = X^2$ 와 동일 할 수 없다 X

$X$

$X$ 로서 Y

$Y$

$Y$ 음수가 될 것이다. Y

$Y$

$Y$ 의 분포를 도출하기 위해 mgf 기법, cdf 기법 및 밀도 변환 기법의 세 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 의 시작하자.

순간 생성 기능 기술 .

또는 원하는 기능 기술. Y=X2

$Y=X^2$

$Y=X^2$ 의 mgf를 찾아야합니다 . 따라서 기대치를 계산해야합니다

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

무의식 통계학 자의 법칙을 사용하여 X

$X$

$X$ 분포에 대한이 적분을 계산하기 만하면 됩니다. 따라서 우리는 계산해야합니다

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

마지막 줄에서 우리는 적분과 평균 0을 갖는 가우스 적분과 적분을 비교했습니다 1(1−2t)

$\frac{1}{(1-2t)}$

$\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ . 물론 이것은 실제 라인을 통해 하나로 통합됩니다. 이제 그 결과로 무엇을 할 수 있습니까? 글쎄, 당신은 매우 복잡한 역변환을 적용하고이 MGF에 해당하는 pdf를 결정하거나 단순히 자유도를 가진 카이 제곱 분포의 MGF로 인식 할 수 있습니다. (카이 제곱 분포는α=r 인감마 분포의 특수한 경우입니다.α=r2

$\alpha =\frac{r}{2}$

$\alpha = \frac{r}{2}$ ,r

$r$

$r$자유도 인, 및β=2

$\beta =2$

$\beta = 2$).

CDF 기술

이것은 아마도 당신이 할 수있는 가장 쉬운 일이며 Glen_b가 의견에서 제안합니다. 이 기술에 따르면, 우리는 계산

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

y

$y$

$y$

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

Φ(.)

$\mathrm{\Phi }(.)$

$\Phi(.)$y

$y$

$y$

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

ϕ(.)

$\varphi (.)$

$\phi(.)$

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

자유도가 1 인 카이 제곱 분포의 pdf로 인식합니다 (지금까지 패턴이 표시 될 수 있음).

밀도 변환 기술

Y=g(X)

$Y=g(X)$

$Y = g(X)$Y

$Y$

$Y$

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

y

$y$

$y$g

$g$

$g$X

$X$

$X$Y

$Y$

$Y$g

$g$

$g$

X

$X$

$X$Y=g(X)

$Y=g(X)$

$Y= g(X)$g

$g$

$g$Y

$Y$

$Y$

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

여기서 합은 모든 역함수에 적용됩니다. 이 예는 그것을 분명히 할 것입니다.

y=x2

$y=x^2$

$y = x^2$x=±y√

$x=\pm \sqrt{y}$

$x = \pm \sqrt{y}$12y√

${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{y}}}$

$\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

자유도가 1 인 카이 제곱 분포의 pdf입니다. 참고로,이 기법은 더 이상 변환의 CDF를 파생시킬 필요가 없기 때문에 특히 유용합니다. 물론 이것은 개인적인 취향입니다.

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따라서 표준 정규 확률 변수의 제곱이 자유도 1의 카이 제곱 분포를 따르는 지 확인하여 오늘 밤 잠자리에들 수 있습니다.

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