최대 가능성 신뢰 구간

베르누이 (Beroulli) 샘플에 대한 정규 근사치는 상대적으로 큰 샘플 크기와 테일에서 멀리 떨어진 샘플 비율을 사용합니다. 최대 우도 추정값은 로그 변환 확률에 초점을 맞추고 대신 사용해야하는 비대칭적이고 효율적인 구간을 제공합니다 .p

$p$

$p$

로그 홀수를β^0=log(p^/(1−p^))

${\hat{\beta }}_0=\log (\hat{p}/(1-\hat{p}))$

$\hat{\beta}_0 = \log(\hat{p}/(1-\hat{p}))$

대한 1- CI 는 다음과 같습니다.α

$\alpha$

$\alpha$β0

${\beta }_0$

$\beta_0$

$$\text{CI}(\beta_0)_\alpha = \hat{\beta}_0 \pm \mathcal{Z}_{\alpha/2} \sqrt{1/(n\hat{p}(1-\hat{p})}$$

그리고 이것은 다음 과 같이 에 대해 (비대칭) 간격으로 다시 변환됩니다 .p

$p$

$p$

$$\text{CI}(p)_\alpha = 1/(1+\exp(-\text{CI}(\beta_0)_\alpha)$$

이 CI는 비율이 0 또는 1 사이의 간격에 있고 CI가 항상 올바른 수준 인 동안 일반 간격보다 좁다는 이점이 있습니다. 다음을 지정하여 R에서 매우 쉽게 얻을 수 있습니다.

set.seed(123)
y <- rbinom(100, 1, 0.35)
plogis(confint(glm(y ~ 1, family=binomial)))

    2.5 %    97.5 %
0.2795322 0.4670450

정확한 이항 신뢰 구간

작은 샘플에서는 MLE에 대한 정규 근사값이 샘플 비율에 대한 정규 근사값보다 우수하지만 신뢰할 수 없습니다. 괜찮아. 는 이항 밀도 를 따르도록 취할 수 있습니다 . 대한 경계 는이 분포에서 2.5 번째 및 97.5 번째 백분위 수를 사용하여 찾을 수 있습니다.Y=np^

$Y=n\hat{p}$

$Y = n\hat{p}$(n,p)

$(n,p)$

$(n,p)$p^

$\hat{p}$

$\hat{p}$

$$\text{CI}_\alpha = (F^{-1}_{\hat{p}}(0.025), F^{-1}_{\hat{p}}(0.975))$$

드물게 가능하지만, 계산 방법을 사용하여 대한 정확한 이항 신뢰 구간을 얻을 수 있습니다 .p

$p$

$p$

qbinom(p = c(0.025, 0.975), size = length(y), prob = mean(y))/length(y)
[1] 0.28 0.47

편견없는 신뢰 구간 중간 값

그리고 가 정확히 0 또는 1 인 경우, 중앙 편향되지 않은 추정값을 사용하여 중앙 편향되지 않은 확률 함수를 기반으로 비단 수 구간 추정값을 얻을 수 있습니다. 모든 0 사례의 하한을 0 WLOG로 간단히 취할 수 있습니다. 상한은 비율로 다음을 충족합니다.p

$p$

$p$p1−α/2

$p_{1-\alpha /2}$

$p_{1-\alpha/2}$

$$p_{1-\alpha/2} : P(Y = 0)/2 + P(Y > y) > 0.975$$

이것은 또한 계산 루틴입니다.

set.seed(12345)
y <- rbinom(100, 1, 0.01) ## all 0
cil <- 0
mupfun <- function(p) {
  0.5*dbinom(0, 100, p) +
    pbinom(1, 100, p, lower.tail = F) -
    0.975
} ## for y=0 successes out of n=100 trials
ciu <- uniroot(mupfun, c(0, 1))$root
c(cil, ciu)

[1] 0.00000000 0.05357998 ## includes the 0.01 actual probability

마지막 두 가지 방법은 epitoolsR 의 패키지에서 구현 됩니다.

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