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bernoulli-distribution

두 개의 독립적 인 Bernoulli 모집단의 표본 추출 분포 두 개의 독립적 인 Bernoulli 랜덤

및 의 두 개의 독립적 인 Bernoulli 랜덤 변수 샘플이 있다고 가정합니다 .

Ber(θ1)

Ber(θ2)

우리는 어떻게 입증 할 그 ?

(X¯1X¯2)(θ1θ2)θ1(1θ1)n1+θ2(1θ2)n2dN(0,1)

라고 가정하십시오 .

n1n2



답변

넣어
, ,
,
입니다. 우리가
. 특징적인 기능의 관점에서 그것은

우리는
b=

a=θ1(1θ1)n1

A=(ˉX1θ1)/aB=(ˉX2θ2)/bAdN(0,1),BdN(0,1)ϕA(t)EeitAet2

b=θ2(1θ2)n2

A=(X¯1θ1)/a

B=(X¯2θ2)/b

AdN(0,1), BdN(0,1)

D:= a

ϕA(t)EeitAet2/2, ϕB(t)et2/2.

D:=aa2+b2Aba2+b2BdN(0,1)

이후 및 독립적으로,

원하는대로)B ϕ D ( t ) = ϕ A ( a

A

B

ϕD(t)=ϕA(aa2+b2t)ϕB(ba2+b2t)et2/2,

이 증거는 불완전합니다. 여기서 우리는 특성 함수의 균일 한 수렴에 대한 몇 가지 추정이 필요합니다. 그러나 고려중인 경우 명시적인 계산을 수행 할 수 있습니다. 넣어 .

as 입니다. 따라서 고정 경우

p=θ1, m=n1

ϕX1,1(t)=1+p(eit1),ϕX¯1(t)=(1+p(eit/m1))m,ϕX¯1θ1(t)=(1+p(eit/m1))meipt,ϕA(t)=(1+p(eit/mp(1p)1))meiptm/p(1p)=((1+p(eit/mp(1p)1))eipt/mp(1p))m=(1t22m+O(t3m3/2))m

t3m3/20

t

ϕD(t)=(1a2t22(a2+b2)n1+O(n13/2))n1(1b2t22(a2+b2)n2+O(n23/2))n2et2/2


( 또는 일지라도 ) 때 ( /math/2566469/uniform-bounds-for-1-y-nn-exp-y/ ).

a0

b0

|ey(1y/m)m|y2/2m 

 y/m<1/2

첫 번째 두 모멘트의 측면에서 특성 함수의 확장을 사용하여 유한 한 두 번째 모멘트를 갖는 임의의 (베르누이가 아닌) 분포에 대해 유사한 계산이 수행 될 수 있습니다.


답변

당신의 진술을 증명하는 것은 (Levy-Lindenberg) Central Limit Theorem을 증명하는 것과 같습니다.

경우 , 유한 평균을 가진 IID 확률 변수의 서열이다 와 유한 분산 다음에

{Zi}i=1n

E(Zi)=μ

V(Zi)=σ2

n(Z¯μ)dN(0,σ2)

여기 에서 샘플 분산 인 입니다.

Z¯=iZi/n

그러면 우리가 넣으면 쉽게 알 수 있습니다

Zi=X1iX2i

와 따르는 및 특히 법칙이 만족되는 조건의 각각에,

X1i,X2i

Ber(θ1)

Ber(θ2)

E(Zi)=θ1θ2=μ

V(Zi)=θ1(1θ1)+θ2(1θ2)=σ2

(마지막 구절이 있으며 일반적인 경우에 대해서는 약간 조정해야 하지만 지금 가야합니다. 내일을 끝내거나 운동으로 최종 구절로 질문을 편집 할 수 있습니다)

n1n2


답변