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나는 랜덤 변수 의 분포를 찾아야합니다.

여기서 및 모든 는 독립적입니다. 먼저 대한 모든 순간 생성 함수의 곱을 찾은 다음 다시 변환하여 분포 를 얻을 수 있음을 알고 있습니다. 그러나 대한 일반적인 형식이 있는지 궁금합니다.

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ $X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ $X_{i}$

X_{i}

$X_i$ $X_{i}$

X_{i}

$X_i$ $Y$

Y

$Y$ $Y$

Y

$Y$ 가우스 사례와 같이 : 우리는 독립 가우스의 합이 여전히 가우스임을 알고 있으므로 합산 평균과 합산 분산 만 알면됩니다.

모든 어떻습니까? 이 조건이 일반적인 해결책이됩니까? $σ_{i}^{2} = σ^{2}$

σ_{i}^{2} = σ^{2}

$\sigma^2_i=\sigma^2$

Glen_b가 의견에서 언급했듯이 분산이 모두 같으면 비 중앙 카이 제곱으로 끝납니다.

그렇지 않은 경우, (A)의 개념이 일반화 카이 제곱 분포 즉, 에 대한 및 수정이. 이 경우, 대각선 ( ) 및 의 특수한 경우가 있습니다. $x^{T} A x$

x^{T} A x

$x^T A x$ $x \sim N (μ, Σ)$

x \sim N (μ, Σ)

$x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$

A

$A$ $Σ$

Σ

$\Sigma$ $Σ_{i i} = σ_{i}^{2}$

Σ_{i i} = σ_{i}^{2}

$\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

A = I

$A = I$

이 배포판으로 물건을 계산하는 작업이있었습니다.

독립 비 중앙 카이 제곱 변수 이 경우 : $Y = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} (\frac{X_{i}^{2}}{σ_{i}^{2}})$

Y = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} (\frac{X_{i}^{2}}{σ_{i}^{2}})

$Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Bausch (2013) 는 중심 카이 제곱의 선형 조합에 대해보다 계산적으로 효율적인 알고리즘을 제공합니다. 그의 작품은 비 중앙 카이 제곱으로 확장 가능할 수 있으며 관련 작업 섹션에서 흥미로운 포인터를 찾을 수 있습니다.

이것은 n 자유도의 카이-제곱이 될 것입니다.

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