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cumulants

주어진 생성 함수는 κ(t)=∫10etx−1x dx.κ(t)=∫01etx−1x dx. \kappa(t)

n

번째 누적이 1 로 주어진 분포에 대한 정보가 있습니까?

1n

? 누적 생성 함수는

κ(t)=01etx1x dx.


나는 임의의 변수의 제한 분포로 그것을 가로 질러 보았지만 그것에 대한 정보를 찾을 수 없었습니다.



답변

cumulants의 값을 알면이 확률 분포의 그래프가 어떻게 보이는지 알 수 있습니다. 분포의 평균과 분산은

E[Y]=κ1=1,Var[Y]=κ2=12

왜도 및 초과 첨도 계수는

γ1=κ3(κ2)3/2=(1/3)(1/2)3/2=223

γ2=κ4(κ2)2=(1/4)(1/2)2=1

{0,1,...,m}

{p0,p1,...,pm},k=0mpk=1

, and then use the cumulants to calculate the raw moments, with the purpose of forming a system of linear equations with the probabilities being the unknowns. Cumulants are related to raw moments by

κn=μni=1n1(n1i1)κiμni


Solved for the first five raw moments this gives (the numerical value at the end is specific to the cumulants in our case)

μ1=κ1=1μ2=κ2+κ12=3/2μ3=κ3+3κ2κ1+κ13=17/6μ4=κ4+4κ3κ1+3κ22+6κ2κ12+κ14=19/3μ5=κ5+5κ4κ1+10κ3κ2+10κ3κ12+15κ22κ1+10κ2κ13+κ15=243/15


If we (momentarily) set

m=5

we have the system of equations

k=05pk=1,k=05pkk=1k=05pkk2=3/2,k=05pkk3=17/6k=05pkk4=19/3,k=05pkk5=243/15s.t.pk0k

Of course we do not want

m

to be equal to

5

. But increasing gradually

m

(and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.


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