복잡성 분석에서 제곱근 아이디어의 주목할만한 예 학생들은 이해하기 쉽고

$max {k, n / k}$

max {k, n / k}

$\max \left\{k, n/k\right\}$ $k = \sqrt{n}$

k = \sqrt{n}

$k=\sqrt n$

이산 로그를 계산하기위한 베이비 스텝 자이언트 스텝 알고리즘 , $O (\sqrt{n})$
시간 및 메모리에서의 정적 2D 직교 범위 계산 , $O (\sqrt{n})$
EXTRACT-MIN이 있고 에 DECREASE-KEY가있는 우선 순위 큐 , $O (\sqrt[k]{n})$
다항식 시간에 색상 으로 3 색 그래프를 채색 , $O (\sqrt{n})$

몇가지 말하자면.

그러한 알고리즘은 종종 차선책이지만, 학생들은 이해하기 쉽고 순진한 경계가 최적이 아님을 신속하게 보여줄 수 있습니다. 또한, 제곱근 아이디어 데이터 구조는 캐시 친 화성 (캐시 불명확 한 기술을 고려하지 않음)으로 인해 이진 트리 기반 대응보다 더 실용적입니다. 그렇기 때문에 제가 가르치는 동안이 주제에 대해 약간의주의를 기울입니다.

나는 이런 종류의 더 독특한 예에 관심이 있습니다. 그래서 나는 분석이 제곱근 아이디어에 의존하는 (바람직하게는 우아한) 알고리즘, 데이터 구조, 통신 프로토콜 등을 찾고 있습니다. 그들의 증상이 최적 일 필요는 없습니다.

답변

Chazelle, Liu 및 Magen의 논문 Sublinear Geometric Algorithms (STOC 2003, SICOMP 2006)에는 다음과 같은 임의 샘플링 트릭을 영리하게 적용했습니다. 동일한 트릭의 변형은 이전 에 CLR (1990)의 첫 번째 버전을 인용 한 Gärtner와 Welzl [ DCG 2001 ]에 의해 사용되었습니다 .

인접한 메모리 블록에 저장된 정렬 된 원형 링크 된 숫자 목록이 있다고 가정하십시오. 즉, 우리는 두 개의 배열이 있습니다 및 . 여기서 $K e y [1.. n]$

K e y [1.. n]

$Key[1..n]$ $N e x t [1.. n]$

N e x t [1.. n]

$Next[1..n]$

은 임의의 순서로 숫자집합을 저장합니다. $K e y [1.. n]$
경우 설정된 최대 수는 다음 세트에서 가장 작은 수이고; 그렇지 않으면, $K e y [i]$

그런 다음 주어진 숫자 의 후계자를 에서 찾을 수 있습니다 $x$

x

$x$ 예상 시간은 다음과 같습니다. $O (\sqrt{n})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

의 랜덤 샘플을 선택하십시오 배열의 요소 $\sqrt{n}$
$\sqrt{n}$
$\sqrt{n}$ $K e y$
$K e y$
$Key$ . 하자 보다 작은 최대 샘플 수 (모든 샘플보다 큰 경우, 또는 큰 샘플 ). $K e y [j]$
$K e y [j]$
$Key[j]$ $x$
$x$
$x$ $x$
$x$
$x$
따르십시오 $N e x t$
$N e x t$
$Next$ 의 포인터 우리는보다 큰 번호가 표시 혹은 등전위까지 (모든 샘플보다 크게된다면 감싸 후 ). $K e y [j]$
$K e y [j]$
$Key[j]$ $x$
$x$
$x$ $x$
$x$
$x$

야오의 명예를 비교적 간단하게 적용하면 $O (\sqrt{n})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$ $Ω (n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

답변

$O (m^{3 / 2})$

O (m^{3 / 2})

$O(m^{3/2})$ $m$

m

$m$ $O (m^{3 / 2})$

O (m^{3 / 2})

$O(m^{3/2})$ $n - k$

n - k

$n-k$ $k$

k

$k$ $n - k$

n - k

$n-k$ $k$

k

$k$ $m / k + k$

m / k + k

$m/k+k$ $O (\sqrt{m})$

O (\sqrt{m})

$O(\sqrt m)$ $O (m^{3 / 2})$

O (m^{3 / 2})

$O(m^{3/2})$

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