Johnson-Lindenstrauss의 정리는 대략 에있는 점 의 모음 에 대해 맵 가 존재 한다고 말합니다 여기서 모든 :
측정 항목에
대해 유사한 문장을 사용할 수는 없지만 , 더 값으로 있는 방법이 알려져 있습니다 더 약한 보증을 제공함으로써 한계? 예를 들어, 대해 위의 보조 정리 버전이있을 수 있습니다n R d f : R d → R k k = O ( log n / ϵ 2 ) x , y ∈ S ( 1 − ϵ ) | | f ( x ) − f ( y ) | | 2 ≤ | | x − y | | 2 ≤ ( 1 + ϵ ) |에스
엔
아르 자형디
에프: R디→ R케이
k = O ( 로그n / ϵ2)
x , y∈ S
( 1 − ϵ ) | | 에프( x ) − f( y) | |2≤ | | x – y| |2≤ ( 1 + ϵ ) | | 에프( x ) − f( y) | |2
ℓ1
ℓ1
대부분의 점의 거리 만 보존하겠다고 약속하지만 일부는 임의로 왜곡 될 수 있습니다. “너무 가까운”포인트에 대해 곱셈 보장을하지 않는 것?
답변
이러한 긍정적 인 결과에 대한 표준 참조는 안정적인 분포에 관한 Piotr Indyk의 논문입니다.
http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps
그는위한 치수 감소 방법 도시 ℓ1
점 중 어느 한 쌍의 사이의 거리가 증가하지 않는다 (팩터 이상으로 1 + ϵ
) (계수 이상으로 감소하지 않는 일정한 확률과 거리와 1 − ϵ
)이 높은 확률로. 임베딩의 차원은 지수입니다 1 / ϵ
.
내가 알지 못하는 후속 작업이있을 수 있습니다.
답변
답변
ℓ1
O ( n / ϵ )
O ( 1 / ( δϵ ) )
1 − δ
답변
ℓ1
에스
씨
아르 자형디
케이
씨
씨
V
ℓ디1
엘1
에프: ℓ디1→ ℓ케이1
k = O ( ϵ− 2c 로그c )
x , y∈ V
( 1 − ϵ ) ∥ f( x ) − f( y) ∥1≤ ∥ x − y∥1≤ ( 1 + ϵ ) ∥ f( x ) − f( y) ∥1
에프
에스
에프
에스
k × d