비가 중 그래프에서는 쉽지만 가중 그래프에서는 어려운 문제 Harary의 정리를 사용하여 다항식

비가 중 그래프와 가중 그래프 모두에서 다항식 시간으로 많은 알고리즘 그래프 문제를 해결할 수 있습니다. 일부 예는 최단 경로, 최소 스패닝 트리, 최장 경로 (지향 비순환 그래프에서), 최대 흐름, 최소 컷, 최대 일치, 최적의 arborescence, 특정 가장 조잡한 하위 그래프 문제, 최대 분리 된 지시 컷, 특정 그래프 클래스의 최대 경사, 최대 독립 특정 그래프 클래스, 다양한 최대 분리 경로 문제 등에서 설정됩니다.

에서 다항식 시간에 풀 수있는 몇 가지 (크게 아마 비록 적은 수의) 문제, 그러나있다 가중 경우,하지만 하드하게 (또는 오픈 상태가)에의 가중 경우. 다음은 두 가지 예입니다.

주어진 -vertex 완전한 그래프 및 정수 , 스패닝 찾을 에지 가능한 최소 수의 서브 그래프를 -connected. 이것은 최적 그래프의 구조를 알려주는 F. Harary의 정리를 사용하여 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다. 반면에, 모서리에 가중치가 부여되면 최소 가중치 연결 스패닝 하위 그래프 를 찾는 것은 -hard입니다. $n$
$엔$
$n$ $k \geq 1$
$케이 \geq 1$
$k\geq 1$ $k$
$케이$
$k$ $k$
$케이$
$k$ $N P$
$엔 피$
$NP$
S. Chechik, MP Johnson, M. Parter 및 D. Peleg의 최근 (2012 년 12 월) 논문 (예 :
http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf 참조 )은 경로 문제를 고려합니다. 최소 노출 경로를 호출하십시오 . 경로에있는 노드의 수 있도록 지정된 두 노드 사이의 경로에 대한 다음 한 외모 플러스 경로에 이웃을 가지고 노드의 수는 최소이다. 이들은 제한된 정도 그래프 이는 가중 경우 다항식 시간 내에 해결되지만하게 될 수 있음을 증명 도 4. (주 바운드 심지어 함께 가중 경우 -hard : 기준이 질문에 대한 응답으로 발견 된 어떤 이 경로 문제가 복잡합니까? ) $N P$
$엔 피$
$NP$

이 특성의 다른 흥미로운 문제점은 무엇입니까, 즉 가중치 버전으로 전환 할 때 “복잡성 점프”가 발생합니까?

답변

근사화 알고리즘의 세계에는 정전 용량 된 정점 커버 문제가 있습니다. 주어 및 정 용량 각각에 대해 목표에 대한 최소 크기의 정점 덮개를 찾는 것이다 에 의해 덮여 에지 개수 여기서 많아야이다 . 이 문제는 가중치가없는 경우 (즉, 정점 커버의 크기를 최소화하려는 경우) 단단하지 않은 경우 상수 계수 근사값을 갖습니다. $G = (V, E)$

지 = (V, 이자형)

$G=(V,E)$ $c (v)$

기음 (V)

$c(v)$ $v \in V$

V \in V

$v \in V$ $G$

지

$G$ $v$

V

$v$ $c (v)$

기음 (V)

$c(v)$ $Ω (\log n)$

Ω (로그 엔)

$\Omega(\log n)$ 가중치 적용 사례에서 ) (각 정점의 가중치는 이며 커버의 가중치를 최소화하려고합니다. $P = N P$

피 = 엔 피

$P = NP$ $w (v)$

승 (V)

$w(v)$

답변

내가 가장 좋아하는 예는 독립적 인 지배 문제입니다 (주어진 그래프 및 정수 , 는 최대 개의 정점을 포함하는 최대 독립 세트를 가지고 있습니까?). Martin Farber ( 여기 참조 ) 로 인한 좋은 결과로 , 비가 중 버전은 코드 그래프에서 다항식으로 해결할 수 있습니다. Gerard Chang은 가중치 버전이 화음 그래프에 대해 NP- 완료임을 증명합니다 ( 여기 참조 ). $G$

지

$G$ $k$

케이

$k$ $G$

지

$G$ $k$

케이

$k$

답변

이분 그래프의 완전 매칭 문제는 이고 이분자 그래프의 정확한 무게 완전 매칭은 완료 입니다. $P$

피

$P$ $N P$

엔 피

$NP$

답변

모하마드 알 – Turkistany의 대답을 이어,이 다항식 시간 풀 수 비가 중 많은 문제가 설정 될 수 있음을 보인다 우리가 해결책이 있는지 묻는다면, 가중 경우 – 완전한를 정확하게 주어진 무게. 이는 서브 세트 합계 문제를 고려 된 작업으로 인코딩 할 수 있기 때문입니다. $N P$

엔 피

$NP$

예를 들어, 정확한 무게 완전 일치의 경우, 주어진 이중을 특정 일치의 가장자리에 할당하고 0 무게를 다른 모든 가장자리에 할당하여 완전한 이분 그래프를 입력으로 취할 수 있습니다. 이 가중치 그래프는 정확히 에 합한 가중치의 부분 집합이있는 경우에만 의 가중치가 정확히 일치 함을 쉽게 알 수 . (그러한 하위 집합이 있으면 고정 일치에서 해당 가장자리를 가져 와서 완전한 이중 분할 그래프임을 사용하여 0 가중치 가장자리와 완벽하게 일치하도록 확장 할 수 있습니다.) 비슷한 간단한 트릭 다른 많은 문제에 대해서도 효과가있을 수 있습니다. $W$

여

$W$ $W$

여

$W$

답변

그래프 밸런싱 (Min Out-degree Orientation)은이 현상의 또 다른 예입니다. 이 문제에서 우리는 방향이없는 가장자리 가중치 그래프가 제공됩니다. 목표는 결과 digraphs (가중치) 최대 out-degree가 최소화되도록 가장자리 방향을 조정하는 것입니다.

스케줄링 시나리오에 의해 종종 문제가 발생합니다. 각 정점이 프로세서이고 각 모서리가 두 끝점 중 하나에서만 실행될 수있는 작업이라고 상상해보십시오. 모서리의 무게는 해당 작업의 길이이며 목표는 제작 시간을 최소화하는 것입니다.

모든 가중치가 1 또는 2 인 경우에도 문제는 NP-hard 및 APX-hard입니다 (Ebenlendr et al. “그래프 밸런싱 : SODA 2008의 관련없는 병렬 시스템 스케줄링의 특별한 경우”참조). 그러나 비가 중 그래프의 경우 P로 표시됩니다 (CATS 2008의 Asahiro et al. “그래프 클래스 및 그래프 방향의 복잡성이 최대 가중도를 최소화 함”참조).

답변

어쩌면 이것은 단순한 사소한 예일 뿐이며, 퇴보 한 사례라고 생각할 수도 있지만 가장 먼저 떠오르는 것은 Traveling Salesman Problem (일반적으로 그래프가 완성 된 것으로 가정)입니다. 비가 중 버전은 Hamiltonian Cycle이며 완전한 그래프에는 사소한 것입니다.

답변

지연 제약 조건 (일명 제약 된 최단 경로 문제)에서 최소 비용 경로를 찾는 것이 여기에 맞는 것 같습니다.

$G = (V, E)$

지 = (V, 이자형)

$G=(V,E)$ $d : V \to N^{+}$

디 : V \to 엔^{+}

$d:V\to\mathbb {N}^+$ $c :\to N^{+}$

기음 : \to 엔^{+}

$c:\to\mathbb {N}^+$ $D \in N^{+}$

디 \in 엔^{+}

$D\in \mathbb {N}^+$ $s, t \in V$

에스, 티 \in V

$s,t\in V$

$s - t$

에스 - 티

$s-t$ $D$

디

$D$

$\forall v \in V : d (v) = 1$

\forall V \in V : 디 (V) = 1

$\forall v\in V:d(v) =1$ $h o p - c o u n t$

h 영형 피 - 기음 영형 유 엔 티

$hop-count$

문제가 가중되면 제약 된 최단 경로 가되며 DAG에서도 NP가 완료된 것으로 알려져 있습니다.

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