NP- 완료임을 증명하기 위해 가능한 축소 스케치.

비공식적으로 3SAT가 ASP-complete (또 다른 솔루션 문제)임을 나타 내기 위해 사용 된 수정 된 3SAT 공식에서 시작하여 3SAT => DIRECTED HAMCYCLE => UNDIRECTED HAMCYCLE => TSP의 표준 체인을 따릅니다.

• n 개의 변수 x 1 , 로 3SAT 공식 로 시작하십시오 . . . x n 및 m 은 C 1 을 계산 합니다. . . , C의 m ;φ
  $\phi$

  $\varphi$n

  $n$

  $n$x1,...xn

  $x_1,...x_n$

  $x_1,...x_n$m

  $m$

  $m$C1,...,Cm

  $C_1,...,C_m$

  $C_1,...,C_m$

• 새로운 변수 t …;를 추가 하여 새로운 공식 바꾸십시오 .φ′
  ${\phi }^{\prime }$

  $\varphi'$t

  $t$

  $t$

• … 각 절 을 ( x i 1 ∨ x i 2 ∨ x i 3 ∨ t )로 확장 ;(xi1∨xi2∨xi3)
  $(x_{i_1}\vee x_{i_2}\vee x_{i_3})$

  $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$(xi1∨xi2∨xi3∨t)

  $(x_{i_1}\vee x_{i_2}\vee x_{i_3}\vee t)$

  $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$

• 에서 빌드 다이아몬드 구조 그래프 G = { V , E } 관한 해밀 토니안은 NP-CYCLE 완료되었음을 입증하기 위해 사용하는 단계; 가정 각 절 C의 j 개의 노드에 해당하는 N의 J 에 G ;φ′
  ${\phi }^{\prime }$

  $\varphi'$G={V,E}

  $G=\{V,E\}$

  $G = \{V,E\}$Cj

  $C_j$

  $C_j$Nj

  $N_j$

  $N_j$G

  $G$

  $G$

• 수정 그래프에 G ‘ = { V ‘ , E ‘ } 각 노드 교체 U를 세 연결된 노드G
  $G$

  $G$G′={V′,E′}

  $G^{\prime }=\{V^{\prime },E^{\prime }\}$

  $G' = \{V',E'\}$u

  $u$

  $u$ 및 방향성 해밀 토니안 사이클의 NP-완전성을 증명하기 위해 사용 된 표준 환원에 따른 에지 수정 DIRECTED HAMILTONIAN CYCLE에서, 즉 u 1 은 들어오는 모서리에 사용되는 노드이고, u 3 은 나가는 모서리에 사용되는 노드입니다.u1,u2,u3

  $u_1,u_2,u_3$

  $u_1, u_2, u_3$u1

  $u_1$

  $u_1$u3

  $u_3$

  $u_3$

• 의 방향성 해밀턴 CYCLE 인스턴스로 변환 는 TSP 인스턴스에 T 의 모든 가장자리에있는 G가 ‘ 무게가 승 = 1 의 “긍정적 인”과제에가는 다이아몬드의 (고유의) 가장자리를 제외하고, t 무게가 승 = 2 (아래 그림의 빨간색 가장자리); 마지막으로 G ‘를 완성 하기 위해 추가 된 모서리의 가중치는 w = 3 입니다.G′
  $G^{\prime }$

  $G'$T

  $T$

  $T$G′

  $G^{\prime }$

  $G'$w=1

  $w=1$

  $w = 1$t

  $t$

  $t$w=2

  $w=2$

  $w = 2$G′

  $G^{\prime }$

  $G'$w=3

  $w=3$

  $w = 3$

분명히 TSP 인스턴스 는 t = t r u e (그리고이 여행은 다항식 시간으로 쉽게 구성 될 수 있음) 의 만족스러운 할당 φ ′ 에 해당하는 모든 노드를 방문하는 간단한주기를 갖지만 총 가중치 | V ‘ | + 1 ( 무게가 2 인 과제 t = t r u e에 해당하는 모서리를 사용하기 때문에 ). T는 또 다른 간단한 사이클을 가지고 그 낮은 총 무게 방문 모든 노드를 | V ‘ |T

$T$

$T$φ′

${\phi }^{‘}$

$\varphi'$t = t rue

$t=tru\mathrm{이자형}$

$t = true$|V‘| +1

$|V^{‘}|+1$

$|V'|+1$t = t r u e

$티=티\mathrm{아르\; 자형}유\mathrm{이자형}$

$t = true$티

$티$

$T$| V‘|

$|V^{‘}|$

$|V'|$과제 t = t r u e에 해당하는 가중치 의 가장자리 가 사용되지 않는 경우에만; 또는 등가 적으로 IF 및 다른 만족 할당이있는 경우에만 φ가 ‘ 있는
t = F L S E ; 그러나 원래 공식 φ 를 만족할 수있는 경우에만 해당됩니다 .2

$2$

$2$t = t r u e

$티=티\mathrm{아르\; 자형}유\mathrm{이자형}$

$t = true$φ‘

${\phi }^{‘}$

$\varphi'$t = fL S E

$티=\mathrm{에프}ㅏ엘\mathrm{에스}\mathrm{이자형}$

$t = false$φ

$\phi$

$\varphi$

나는 그것에 대해 더 많이 생각하고 공식적인 증거를 쓸 것입니다 (잘못되어있는 경우 :-). 위의 구절 중 하나 이상에 대한 자세한 내용이 필요하면 알려주십시오.

domotorp이 지적한 바와 같이 흥미로운 결과는 다음과 같은 문제가 NP- 완전하다는 것입니다. 그래프 와 해밀턴 경로가 주어지면 G 에 해밀턴 사이클이 있습니까?지

$지$

$G$지

$지$

$G$

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답변