나의 주된 경험은 결정 구조에 관한 것이며, 결정에 나타나는 한정된 수의 점 대칭 만이 있습니다. 그래서 제가 사용할 알고리즘은 분자에서 사용하는 것과 약간 다릅니다. 그러나 H 2 나 CO 2 의 축 대칭과 같이 연속 대칭이 나타날 가능성이 큰 분자는 거의 없으므로 방법이 상당히 겹치게됩니다. 시스템에서 대칭을 결정할 때 고려해야 할 서로 다른 두 가지 대칭이 있습니다 : 로컬 및 글로벌.2

${}_2$

$_2$2

${}_2$

$_2$

국소 대칭

로컬 대칭은 특정 지점 주변의 로컬 환경의 대칭입니다. 특히, 각각의 원자 위치에서의 대칭은 국소 원자 분할 및 어느 정도까지 화학 환경을 결정하며, 전체 대칭의 하위 그룹이다. 예를 들어, 벤젠의 로컬 대칭 개의 반 사면으로 구성 및 축 ( 180 ∘ 회전 대칭). (물론, 전체 로컬 포인트 그룹을 생성하는 데 2 ​​개의 작업 만 필요합니다.)C2

${씨}_2$

$C_2$180∘

${180}^{\circ }$

$180^\circ$

알고리즘 관점에서 우리가 한 일은 먼저 대상 원자의 가장 가까운 이웃을 찾은 다음 중심 원자를 중심으로 해당 환경을 회전하고 동일하게 유지할 수있는 모든 방법을 열거하는 것입니다. 더 수학적으로, 모든 직교 행렬에 대한 해결되고, 그 같은ㅏ

$\mathbf{ㅏ}$

$\mathbf{A}$

$$\mathbf{A}(\vec{x}_i - \vec{x}_c) = \vec{x}_j - \vec{x}_c$$

여기서 및 → x j 는 동일한 종의 원자 위치이고 → x c 는 중심 또는 목표 원자의 위치입니다. 그러나 일반적으로 A 를 풀기 전에 반 사면의 존재 여부와 같은 간단한 형태를 먼저 살펴 보았습니다 . 엑스⃗ 나는

${\overrightarrow{\mathrm{엑스}}}_{\mathrm{나는}}$

$\vec{x}_i$엑스⃗ 제이

${\overrightarrow{\mathrm{엑스}}}_{\mathrm{제이}}$

$\vec{x}_j$엑스⃗ 씨

${\overrightarrow{\mathrm{엑스}}}_{씨}$

$\vec{x}_c$ㅏ

$\mathbf{ㅏ}$

$\mathbf{A}$

또 다른 생각은 각도 운동량 행렬을 회전 생성기로 사용하는 것입니다.

$$\mathbf{A} = \exp(i \phi \hat{n}\cdot\vec{\mathbf{L}})$$

여기서 N ∈ R 3 각도로 회전되는 대한 단위 벡터이다 φ가 행해지고, → L = ( L의 X , L의 Y , L의 Z는 ) 입체 각운동량 행렬 벡터된다. 그러면 A 는 3 명의 미지수 만 가질 것입니다.엔^∈ R삼

$\widehat{엔}\in {\mathbb{아르\; 자형}}^{\mathrm{삼}}$

$\hat{n} \in \mathbb{R}^3$ϕ

$\varphi$

$\phi$엘⃗ = ( L엑스, L 와이, L 지)

$\overrightarrow{\mathbf{엘}}=({\mathbf{엘}}_{\mathrm{엑스}},{\mathbf{엘}}_{\mathrm{와이}},{\mathbf{엘}}_{지})$

$\vec{\mathbf{L}} = (\mathbf{L}_x,\ \mathbf{L}_y,\ \mathbf{L}_z)$ㅏ

$\mathbf{ㅏ}$

$\mathbf{A}$

글로벌 대칭

국소 대칭이 단일 원자 주위의 환경을 결정하는 경우, 전체 대칭은 원자가 서로 어떻게 상호 작용 하는지를 나타냅니다. 전역 대칭을 결정하는 첫 번째 단계는 등가 원자를 결정하는 것입니다. 먼저, 가장 가까운 인접 원자 (및 원하는 경우 두 번째로 가장 가까운 원자)에 대한 유형 및 상대 방향을 결정하십시오. 이웃이 동일한 공간 배열을 갖는 경우 두 원자는 동일합니다. 이것은 계산하기 간단합니다.

두 번째 단계는 분자의 질량 중심이 대칭 중심 일 가능성이 있다는 점을 제외하고는 로컬 대칭 경우와 거의 동일합니다. 이 시점에서 로컬 대칭이 결정된 경우 전체 그룹을 생성하기 위해 몇 가지 고유 한 작업 만 있으면됩니다. 예를 들어, 상기에서 B20 결정 구조 , 각 원자는 로컬 갖는 대칭씨삼

${씨}_{\mathrm{삼}}$

$C_3$ 및 전체 포인트 그룹은 2 배 (포함하여 생성된다 회전) 나사 축은 서로에 하나 개의 원자를 변환한다. 벤젠에는 두 가지 작업이 필요합니다. 중심 축을 통한 6 배 ( 60 ° ) 회전과 본드를 이등분하는 반 사면.180∘

${180}^{\circ }$

$180^\circ$60∘

${60}^{\circ }$

$60^\circ$

편집 : B20 구조의 경우 대신 축 중 두 개를 사용 하여 전체 그룹을 생성 할 수 있습니다 . 이를 통해 스크류 축을 자동으로 결정하는 방법을 찾지 않아도됩니다.씨삼

${씨}_{\mathrm{삼}}$

$C_3$

주의 : 전역 섹션의 로컬 대칭 섹션에있는 아이디어를 사용하는 데 대한주의 사항은 대칭 작업이므로 환경도 변환해야합니다. 따라서 위에서 를 찾으면 변환이 환경을 적절하게 변경하지 못하고 추가 검사가 필요하기 때문에 후보 대칭 만 제공합니다. 예를 들어 벤젠 고리가 하나 개의 측면을 따라 고리 평면의 고집 수소 원자를 가지고있는 경우, 다음의 탄소 – 탄소 결합을 이등분 반 사면 괜찮을 것이다하지만 180 ∘ 마찬가지로 결합을 이등분 회전하고자하지 때문 것 지역 환경을 재현하지 마십시오.ㅏ

$\mathbf{ㅏ}$

$\mathbf{A}$180∘

${180}^{\circ }$

$180^\circ$

편집-번역 : 로컬 대칭에 대한 위의 설명에서 무시할 수있는 또 다른 문제가 있습니다 : 번역. 공식적으로 올바른 대칭 작동은

$$\mathbf{A}(\vec{x}_i - \vec{x}_c) + \vec{t} = \vec{x}_j - \vec{x}_c$$

여기서 와 → x k 는 위와 같고 → t 는 임의의 변환입니다. 변성 결정에서ㅏ

$\mathbf{ㅏ}$

$\mathbf{A}$엑스⃗ 케이

${\overrightarrow{\mathrm{엑스}}}_{\mathrm{케이}}$

$\vec{x}_k$티⃗ 

$\overrightarrow{티}$

$\vec{t}$

$$\vec{t} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3$$

여기서 는 원시 격자 변환과 n i ∈ Z 이므로 점 그룹과 변환은 완전히 분리 가능합니다. 상징이 아닌 결정에서 → t 는 기본이 아닌 변환으로 구성 될 수 있습니다. 이 둘의 차이점은 단순히 변성 결정의 경우 단일 회전 중심을 찾을 수 있지만 비-변형 결정의 경우 사실이 아닙니다. 분자 시스템은이 후자의 의미에서 “비대칭”일 가능성이 높으며, 그룹을 완전히 실현하기 위해 번역을 추가해야합니다.ㅏ⃗ 나는

${\overrightarrow{ㅏ}}_{\mathrm{나는}}$

$\vec{a}_i$엔나는∈ Z

${엔}_{\mathrm{나는}}\in \mathbb{지}$

$n_i \in \mathbb{Z}$티⃗ 

$\overrightarrow{티}$

$\vec{t}$

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