완전성을 위해 밀도에서 원시 모멘트를 직접 계산합니다. 먼저, 모양 / 속도 매개 변수화에서 감마 분포는 밀도 매개 변수의 선택에 대한 것을 당연하게 우리가 걸릴 것 , 우리가 이 결과는 ID에서 쉽게 도출 할 수 있습니다 그런 다음 양의 정수 대해 다음을 따릅니다 .

$$f_X(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0.$$ α,β>0

$\alpha, \beta > 0$

$$\int_{x=0}^\infty f_X(x) \, dx = 1,$$

$$\int_{z=0}^\infty x^{z-1} e^{-z} \, dz = \Gamma(z).$$ k

$k$

$$\begin{align*} \mathrm{E}[X^k] &= \int_{x=0}^\infty x^k f_X(x) \, dx \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \beta^\alpha x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^{\alpha+k} x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha+k)} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}, \end{align*}$$ 여기서 두 번째 단계에서 적분은 같습니다. 이는 및 매개 변수를 가진 감마 밀도의 적분이기 때문입니다 . 들면 , 우리는 즉시 획득1

$1$α+k

$\alpha+k$β

$\beta$k=2

$k = 2$E[X2]=Γ(α+2)β2Γ(α)=(α+1)αβ2.

$\mathrm{E}[X^2] = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}.$ 또 다른 방법은 순간 생성 함수를 사용하는 것입니다 : 적분을 수렴하기 위해 의 조건 이 필요한 경우우리는 이것을 같이 다시 쓸 수있다 그리고 그 다음

$$\begin{align*} M_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] &= \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x + tx}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \int_{x=0}^\infty \frac{(\beta-t)^\alpha x^{\alpha-1} e^{-(\beta-t)x}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \biggl(\frac{\beta}{\beta-t}\biggr)^{\!\alpha}, \quad t < \beta, \end{align*}$$ t

$t$

$$M_X(t) = (1 - t/\beta)^{-\alpha},$$

$$\mathrm{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[(1-t/\beta)^{-\alpha-k}\right]_{t=0} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\beta} = \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}.$$

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