PCA에서 정확히 "주요 구성 요소"란 무엇입니까? 분산을 최대화하는 벡터 라고 가정

가 설계 행렬 데이터 투영의 분산을 최대화하는 벡터 라고 가정 합니다. $u$

u

$u$ $X$

X

$X$

이제, 를 데이터의 (제 1) 주요 구성 요소로 지칭하는 재료를 보았습니다 . 이는 또한 고유 값이 가장 큰 고유 벡터입니다. $u$

u

$u$

그러나 데이터의 주요 구성 요소가 것을 보았습니다 . $X u$

X u

$X u$

분명히 와 는 다른 것입니다. 누구든지 여기에서 나를 도울 수 있고 주성분에 대한이 두 정의의 차이점이 무엇인지 말해 줄 수 있습니까? $u$

u

$u$ $X u$

X u

$Xu$

답변

(공분산 행렬의 고유 벡터 중 하나, 예를 들어 첫 번째 행렬) 및 (1 차원에 데이터 투영 ) 에도 불구하고 절대적으로 정확 합니다. 된 부분 공간은 서로 다른 두 가지로, 둘 다 종종 “주요 구성 요소”라고하며 때로는 같은 텍스트로 표시됩니다. $u$

u

$\mathbf{u}$ $X u$

X u

$\mathbf{X}\mathbf{u}$ $u$

u

$\mathbf{u}$

대부분의 경우 문맥에서 정확히 의미하는 것이 분명합니다. 일부 드문 경우에, 그러나, 그것은 참으로 (예 : 스파 스 PCA 또는 CCA 등) 몇 가지 관련 기술은 서로 다른 방향으로, 여기서 논의 할 때 매우, 예를 혼동 할 수있다 직교 할 필요가 없습니다. 이 경우 “컴포넌트는 직교 형”이라는 표현은 축 또는 투영을 나타내는 지 여부에 따라 매우 다른 의미를 갖습니다. $u_{i}$

u_{i}

$\mathbf{u}_i$

나는 를 “주축”또는 “주 방향” 이라고 부르고 를 “주성분” 이라고 옹호 합니다. $u$

$u$
$\mathbf{u}$ $X u$
$X u$

$\mathbf{X}\mathbf{u}$

또한 “mathcipal component vector”라고 불리는 보았습니다 . $u$

u

$\mathbf u$

대체 규칙은 “주요 구성 요소”및 “주요 구성 요소 점수” 를 호출하는 것 입니다. $u$

u

$\mathbf u$ $X u$

X u

$\mathbf{Xu}$

두 규칙의 요약 :

\begin{array}{ccc} Convention 1 & Convention 2 \\ u & {\begin{cases} principal axis \\ principal direction \\ principal component vector \end{cases} & principal component \\ X u & principal component & principal component scores \end{array}

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$

참고 : 0이 아닌 고유 값에 해당하는 공분산 행렬의 고유 벡터 만 주 방향 / 구성 요소라고 할 수 있습니다. 공분산 행렬이 낮은 순위이면 하나 이상의 고유 값을 갖습니다. 대응하는 고유 벡터 (및 일정한 영 (0) 인 투영)는 주요 방향 / 구성 요소라고 해서는 안됩니다 . 내 답변에서 토론을 참조하십시오.

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