간단히 : 는 X 와 2 a – X 가 실수 a에 대해 같은 분포를 가질 때 대칭 입니다. X

$\mathrm{엑스}$

$X$X

$\mathrm{엑스}$

$X$2a−X

$2ㅏ-\mathrm{엑스}$

$2a-X$a

$ㅏ$

$a$ 그것은 많은 암시 적 질문을 제기 있기 때문에 완전히 정당화 방식이에 도착하는 것은 약간의 여담과 일반화가 필요합니다 왜 이 “대칭”의 정의? 다른 종류의 대칭이있을 수 있습니까? 분포와 대칭 사이의 관계는 무엇입니까? 반대로 “대칭”과 해당 대칭이있을 수있는 분포 사이의 관계는 무엇입니까?

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문제의 대칭은 실제 선의 반영입니다. 모든 형태입니다

$$x \to 2a-x$$

일부 상수 .ㅏ

$ㅏ$

$a$

따라서 에 적어도 하나의 a에 대한 대칭이 있다고 가정 합니다 . 그러면 대칭은 암시합니다엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$ㅏ

$ㅏ$

$a$

$$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$$

보여주는 A는 중간 의 X . 마찬가지로 X 에 기대 값이 있으면 a = E [ X ] 바로 다음에옵니다 . 따라서 우리는 일반적으로 아래로 고정 할 수 있습니다 쉽게. 심지어하지 않을 경우 (가 전혀 존재하는 경우) (따라서 대칭 자체는) 아직 유일하게 결정된다.ㅏ

$ㅏ$

$a$엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$a = E[ X]

$ㅏ=\mathrm{이자형}[\mathrm{엑스}]$

$a = E[X]$ㅏ

$ㅏ$

$a$ㅏ

$ㅏ$

$a$

이것을 보려면 를 대칭 중심 이라고합시다 . 그런 다음 두 가지 대칭을 모두 적용 하면 변환 x → x + 2 ( b – a ) 에서 X 가 변하지 않는 것을 볼 수 있습니다. 경우 (B) – ≠ 0 의 분포 X는 기간 있어야 B – 주기적인 분포의 총 확률이 하나이기 때문에 불가능 0 또는 무한. 따라서 b − a = 0 은 a 가 고유함을 나타냅니다.비

$비$

$b$엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$ x → x + 2 ( b − a )

$\mathrm{엑스}\to \mathrm{엑스}+2(비-ㅏ)$

$x \to x + 2(b-a)$b − a ≠ 0

$비-ㅏ\ne 0$

$b-a \ne 0$엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$b – a

$비-ㅏ$

$b-a$0

$0$

$0$b – a = 0

$비-ㅏ=0$

$b-a=0$ㅏ

$ㅏ$

$a$

더 일반적으로, 때 진짜 라인에 충실하게 행동하는 그룹이 (그리고 모든 보렐 부분 집합의 확장에 의해), 우리는 유통 말할 수 X가 (에 대한 “대칭”입니다 G 경우)지

$지$

$G$엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$지

$지$

$G$

$$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$$

모든 측정 세트 및 요소 g ∈ G , E g이 이미지이고 E가 작용 하에서 g .이자형

$\mathrm{이자형}$

$E$지∈ G

$지\in 지$

$g \in G$이자형지

${\mathrm{이자형}}^{지}$

$E^g$이자형

$\mathrm{이자형}$

$E$지

$지$

$g$

예를 들어, 하자 여전히 질서의 그룹이 될 2 ,하지만 지금은 그 행동이 실수의 역수를 취할 수 있도록 (그리고 그것을 해결하자 0 ). 표준 로그 정규 분포는이 그룹과 대칭입니다. 이 예는 좌표의 비선형 재 표현이 발생한 반사 대칭의 예로 이해 될 수있다. 이는 실제 라인의 “구조”를 존중하는 변환에 중점을 둡니다. 확률에 필수적인 구조는 Borel 세트 및 Lebesgue 측정과 관련되어야하며, 두 지점 사이 의 (유클리드) 거리 로 정의 할 수 있습니다 .지

$지$

$G$2

$2$

$2$0

$0$

$0$

거리 보존 맵은 정의상 등거리 변환입니다. 실제 선의 모든 isometries가 반사에 의해 생성된다는 것은 잘 알려져 있습니다 (약간 조금 복잡하지만 시연하기 쉽습니다). “대칭” 이 일부 그룹의 isometries에 대해 대칭을 의미하는 것으로 이해 될 때 , 그룹은 최대 하나의 반사에 의해 생성되어야하며 반사는 그것에 대한 임의의 대칭 분포에 의해 고유하게 결정되는 것을 보았습니다 . 이런 의미에서, 앞의 분석은 철저하고 “대칭”분포의 일반적인 용어를 정당화합니다.

또한, 이소 메 트리 그룹 하에서 변하지 않는 분포 의 다변량 분포의 예 는 “구형”분포를 고려함으로써 제공된다. 이것들은 모든 회전에서 변하지 않습니다 (일부 고정 중심에 상대적). 이것들은 1 차원 경우를 일반화합니다 : 실제 선의 “회전”은 단지 반사입니다.

마지막으로, 그룹 전체에 걸친 표준 구조는 많은 양의 대칭 분포를 생성 할 수있는 방법을 제공합니다. 실수 선의 경우 , 점 a 에 대한 반사에 의해 가 생성 되도록하여 항등 요소 e 와이 반사 g로 구성 됩니다. 하자 X BE 어떤 분포를. 설정 하여 분포 Y 정의지

$지$

$G$ㅏ

$ㅏ$

$a$이자형

$\mathrm{이자형}$

$e$지

$지$

$g$엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$와이

$\mathrm{와이}$

$Y$

$${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$$

모든 Borel 세트 . 이것은 명백히 대칭이며 분포가 유지되는지 쉽게 확인할 수 있습니다 (모든 확률은 음이 아니고 총 확률은 1입니다 ).이자형

$\mathrm{이자형}$

$E$1

$1$

$1$

그룹 평균화 과정을 설명하기 위해 대칭 감마 분포 ( 중심)의 PDF는 금색으로 표시됩니다. 원래 감마는 파란색이고 반사는 빨간색입니다.a = 2

$ㅏ=2$

$a=2$

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