로하자 나타낸다 정확한 곱셈의 부동 소수점 유사체 ((I는 나누기 연산자의 동그라미 버전을 얻으려고 노력 게으른) × ), 추가 ( + ()과 뺄셈을 – 각각). 우리는 (IEEE-754) 그들 모두에 대해
[ x ⊕ y ] = ( x + y ) ( 1 + δ ⊕ ) ,⊗,⊕,⊖

$\otimes ,\oplus ,\ominus$

$\otimes,\oplus,\ominus$×

$\times$

$\times$+

$+$

$+$−

$-$

$-$
여기서 ϵ m a c h 는 반올림으로 인한 상대 오차의 상한을 제공하는 기계 엡실론입니다. 또한쉽게 입증 할 수있는다음의 정리 (모두 | δ i | ≤ ϵ m a c h 이고 m 이 너무 크지 않다고 가정)를 사용합니다 :
m ∏ i = 1 ( 1 + δ i ) = 1 + θ (

$$[x\oplus y]=(x+ y)(1+\delta_\oplus),\quad |\delta_\oplus|\le\epsilon_\mathrm{mach},$$ ϵmach

${ϵ}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}$

$\epsilon_\mathrm{mach}$|δi|≤ϵmach

$|{\delta }_i|\le {ϵ}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}$

$|\delta_i|\le\epsilon_\mathrm{mach}$m

$m$

$m$

$$\prod\limits_{i=1}^{m}(1+\delta_i)=1+\theta(m),\quad |\theta(m)|\le\frac{m\epsilon_\mathrm{mach}}{1-m\epsilon_\mathrm{mach}}$$

하자 참된 정의 함수 실수 동작에 X , Y , Z 등을f

$f$

$f$x,y,z

$x,y,z$

$x,y,z$

$$f(x,y,z)=(x\times z)-(y\times z)$$

상기 함수로서 IEEE 규격의 부동 소수점 연산의 실행의 두 가지 버전 및 ~ F (2) 부동 소수점에서 동작 표현 ~ (X) = X ( 1 + δ X ) , ~ Y는 , ~ z는 로서 다음과 같다 :f1~

$\widetilde{f_1}$

$\tilde{f_1}$f2~

$\widetilde{f_2}$

$\tilde{f_2}$x~=x(1+δx),y~,z~

$\tilde{x}=x(1+{\delta }_x),\tilde{y},\tilde{z}$

$\tilde{x}=x(1+\delta_x),\tilde{y},\tilde{z}$

$$\tilde{f_1}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\otimes\tilde{z})\ominus(\tilde{y}\otimes\tilde{z}),$$

$$\tilde{f_2}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\ominus\tilde{y})\otimes\tilde{z}.$$

대한 오류 분석 :f1~

$\widetilde{f_1}$

$\tilde{f_1}$

여기,| θxz,1| ,| θyz,1| ≤4 ϵ m a c h

$$\begin{aligned} \tilde{f_1}&=\Big(\underbrace{\big(x(1+\delta_x)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{xz}}\big)}_{(\tilde{x}\otimes\tilde{z})}-\underbrace{\big(y(1+\delta_y)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{yz}}\big)}_{(\tilde{y}\otimes\tilde{z})}\Big)\Big(1+\delta_{\ominus}\Big)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{xz}})(1+\delta_\ominus)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{yz}})(1+\delta_\ominus)\\ &=xz(1+\theta_{xz,1})-yz(1+\theta_{yz,1}). \end{aligned}$$ .| θx z, 1| , | θ와이지, 1| ≤ 4 ϵm a c h(1) – 4 εm a c h

$|{\theta }_{\mathrm{엑스}지,1}|,|{\theta }_{\mathrm{와이}지,1}|\le \frac{4{ϵ}_{\mathrm{미디엄}\mathrm{ㅏ}\mathrm{씨}\mathrm{h}}}{1-4{ϵ}_{\mathrm{미디엄}\mathrm{ㅏ}\mathrm{씨}\mathrm{h}}}$

$|\theta_{xz,1}|,|\theta_{yz,1}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

마찬가지로 ~ f 2에프2~

$\widetilde{{\mathrm{에프}}_2}$

$\tilde{f_2}$

여기,| θx,2| ,| θy,2| ≤4 ϵ m a c h

$$\begin{aligned} \tilde{f_2}&=\Bigg(\Big(\big( x(1+\delta_x)-y(1+\delta_y \big)\big(1+\delta_{\ominus_{xy}}\big)\Big)\times \Big(z(1+\delta_z)\Big)\Bigg)\Bigg(1+\delta_{\otimes}\Bigg)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)\\ &=xz(1+\theta_{x,2})-yz(1+\theta_{y,2}). \end{aligned}$$ .| θx , 2| , | θ와이, 2| ≤ 4 ϵm a c h(1) – 4 εm a c h

$|{\theta }_{\mathrm{엑스},2}|,|{\theta }_{\mathrm{와이},2}|\le \frac{4{ϵ}_{\mathrm{미디엄}\mathrm{ㅏ}\mathrm{씨}\mathrm{h}}}{1-4{ϵ}_{\mathrm{미디엄}\mathrm{ㅏ}\mathrm{씨}\mathrm{h}}}$

$|\theta_{x,2}|,|\theta_{y,2}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

에프1~

$\widetilde{{\mathrm{에프}}_1}$

$\tilde{f_1}$에프2~

$\widetilde{{\mathrm{에프}}_2}$

$\tilde{f_2}$에프2~

$\widetilde{{\mathrm{에프}}_2}$

$\tilde{f_2}$에프1~

$\widetilde{{\mathrm{에프}}_1}$

$\tilde{f_1}$

엑스

$\mathrm{엑스}$

$x$와이

$\mathrm{와이}$

$y$

$$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_1}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{xz,1}-yz-yz\theta_{yz,1}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{xz,1}-y\theta_{yz,1}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}, \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_2}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{x,2}-yz-yz\theta_{y,2}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{x,2}-y\theta_{y,2}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}. \end{aligned}$$

사이의 약간의 차이 θ

$\theta$

$\theta$의 두 수치 구현 중 하나를 조금 더 좋거나 나쁘게 만들 수 있습니다. x , y, z

$\mathrm{엑스},\mathrm{와이},지$

$x,y,z$. 그러나 나는 그것이 어떤 의미가 있는지 의심합니다. 계산해야 할 경우 결과에 상관없이 결과는 완전히 의미가 있습니다.( x − y)

$(\mathrm{엑스}-\mathrm{와이})$

$(x-y)$, 언제 엑스

$\mathrm{엑스}$

$x$ 과 와이

$\mathrm{와이}$

$y$ 부동 소수점 산술을 사용하여 (정확한 작업을 위해) 값이 충분히 가까우면 스케일링이 크게 도움이되지 않습니다. 이미 문제가 있습니다.

주의 : 위의 모든 논의는 오버플로 또는 언더 플로가 없다고 가정합니다. x , y, z, f( x , y, z) ∈ F0

$\mathrm{엑스},\mathrm{와이},지,\mathrm{에프}(\mathrm{엑스},\mathrm{와이},지)\in {\mathbb{에프}}_0$

$x,y,z,f(x,y,z)\in\mathbb F_0$, 에프0

${\mathbb{에프}}_0$

$\mathbb F_0$ 모든 일반 부동 소수점 숫자의 집합입니다.

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