연산 순서, 숫자 알고리즘 분석에 따르면

나는 그것을 읽었다

(1) 조건이 잘못된 작업은 조건이 좋은 작업보다 먼저 수행해야합니다.

예를 들어, 곱셈을하지 않으면 서 빼기가 조절되지 않기 때문에 $x z - y z$

엑스지−와이지

를 로 계산해야합니다 $(x - y) z$

(엑스−와이)지

그러나 두 알고리즘의 1 차 오류 분석에 따르면 그것들은 단지 3 배 (*) 만 다른 것으로 밝혀졌으며, 이것이 왜 이것을 진술 (1)로 일반화 할 수 있는지, 또는 작업 순서. 당신은 진술이 (1) 받아 들여진 규칙이라고 생각합니까? 그리고 그것에 대한 다른 설명이 있습니까?

* : 더 구체적으로, 첫 번째 버전에는 상대적인 오류가 있습니다.

eps + 3 | x | + | y | | x | - | y | eps

번째 버전의 상대적인 에러에 의해 제한되는 반면

3 eps + | x | + | y | | x | - | y | eps

여기서 $eps$

eps

는 기계 정밀도입니다.

이 분석은 $i$

번째 중간 결과에 $(1 + ε_{i})$

(1+εi)

(반올림 오차로 인해 가 곱해진다 는 가정을 기반으로합니다 . 여기서 $ε_{i}$

εi

는 묶인 iid 임의 변수 $eps$

주당 순 이익

입니다. “1 차”는 와 같은 고차 항이 $ϵ_{i} ϵ_{j} x$

ϵiϵjx

무시 됨을 의미합니다 .

답변

로하자 나타낸다 정확한 곱셈의 부동 소수점 유사체 ((I는 나누기 연산자의 동그라미 버전을 얻으려고 노력 게으른) ), 추가 ( ()과 뺄셈을 각각). 우리는 (IEEE-754) 그들 모두에 대해
$\otimes, \oplus, ⊖$

⊗,⊕,⊖

$\times$

$+$

$-$

−

여기서 는 반올림으로 인한 상대 오차의 상한을 제공하는 기계 엡실론입니다. 또한쉽게 입증 할 수있는다음의 정리 (모두 이고 이 너무 크지 않다고 가정)를 사용합니다 :

[x \oplus y] = (x + y) (1 + δ \oplus), | δ \oplus | \leq ϵ m a c h,

$ϵ_{m a c h}$

ϵmach

$| δ_{i} | \leq ϵ_{m a c h}$

|δi|≤ϵmach

$m$

\prod i = 1 m (1 + δ i) = 1 + θ (m), | θ (m) | \leq m ϵ m a c h 1 - m ϵ m a c h

하자 참된 정의 함수 실수 동작에 등을 $f$

$x, y, z$

x,y,z

f (x, y, z) = (x \times z) - (y \times z)

상기 함수로서 IEEE 규격의 부동 소수점 연산의 실행의 두 가지 버전 및 부동 소수점에서 동작 표현 로서 다음과 같다 : $\tilde{f_{1}}$

f1~

$\tilde{f_{2}}$

f2~

$\tilde{x} = x (1 + δ_{x}), \tilde{y}, \tilde{z}$

x~=x(1+δx),y~,z~

f 1 ~ (x ~, y ~, z ~) = (x ~ \otimes z ~) ⊖ (y ~ \otimes z ~),

f 2 ~ (x ~, y ~, z ~) = (x ~ ⊖ y ~) \otimes z ~ .

대한 오류 분석 : $\tilde{f_{1}}$

f1~

여기,

f 1 ~ = ((x (1 + δ x) \times z (1 + δ z)) (1 + δ \otimes x z)                                      (x ~ \otimes z ~) - (y (1 + δ y) \times z (1 + δ z)) (1 + δ \otimes y z)                                      (y ~ \otimes z ~)) (1 + δ ⊖) = x z (1 + δ 엑스) (1 + δ 지) (1 + δ \otimes x z) (1 + δ ⊖) - y 지 (1 + δ 와이) (1 + δ 지) (1 + δ \otimes 와이 지) (1 + δ ⊖) = x z (1 + θ 엑스 z, 1) - y z (1 + θ y z, 1) .

. $| θ_{x z, 1} |, | θ_{y z, 1} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}$

|θ엑스지,1|,|θ와이지,1|≤4ϵ미디엄ㅏ씨h1−4ϵ미디엄ㅏ씨h

마찬가지로 $\tilde{f_{2}}$

에프2~

여기,

f 2 ~ = (((x (1 + δ x) - y (1 + δ y) (1 + δ ⊖ x y)) \times (z (1 + δ z))) (1 + δ \otimes) = x z (1 + δ x) (1 + δ z) (1 + δ ⊖ x y) (1 + δ \otimes) - y z (1 + δ 와이) (1 + δ 지) (1 + δ ⊖ x y) (1 + δ \otimes) = x z (1 + θ x, 2) - y 지 (1 + θ 와이, 2) .

. $| θ_{x, 2} |, | θ_{y, 2} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}$

|θ엑스,2|,|θ와이,2|≤4ϵ미디엄ㅏ씨h1−4ϵ미디엄ㅏ씨h

$\tilde{f_{1}}$

에프1~

$\tilde{f_{2}}$

에프2~

$\tilde{f_{2}}$

에프2~

$\tilde{f_{1}}$

에프1~

$x$

엑스

$y$

와이

| 에프 1 ~ - f | | 에프 | = | x z + x z θ x z , 1 - y 지 - y 지 θ 와이 지 , 1 - ( x z - y 지 ) | | x z - y 지 | = | x θ x z , 1 - y θ 와이 지 , 1 | | x - y | \leq | x | + | 와이 | | x - y | 4 ϵ m a c h (1) - 4 ε m a c h,

| 에프 2 ~ - f | | 에프 | = | x z + x z θ x , 2 - y 지 - y 지 θ 와이 , 2 - ( x z - y 지 ) | | x z - y 지 | = | x θ x , 2 - y θ 와이 , 2 | | x - y | \leq | x | + | 와이 | | x - y | 4 ϵ m a c h (1) - 4 ε m a c h .

사이의 약간의 차이 $θ$

의 두 수치 구현 중 하나를 조금 더 좋거나 나쁘게 만들 수 있습니다. $x, y, z$

엑스,와이,지

. 그러나 나는 그것이 어떤 의미가 있는지 의심합니다. 계산해야 할 경우 결과에 상관없이 결과는 완전히 의미가 있습니다. $(x - y)$

(엑스−와이)

, 언제 $x$

엑스

과 $y$

와이

부동 소수점 산술을 사용하여 (정확한 작업을 위해) 값이 충분히 가까우면 스케일링이 크게 도움이되지 않습니다. 이미 문제가 있습니다.

주의 : 위의 모든 논의는 오버플로 또는 언더 플로가 없다고 가정합니다. $x, y, z, f (x, y, z) \in F_{0}$

엑스,와이,지,에프(엑스,와이,지)∈에프0

, $F_{0}$

에프0

모든 일반 부동 소수점 숫자의 집합입니다.

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