VAS (Vector Addition System)는 유한 한 행동 입니다. 는 일련의 표시 입니다. 런은 마킹 비어 단어 성 . 이러한 단어가 존재하는 경우 우리는 그 말을 있다 도달 에서 .A ⊂ Z d
VAS의 도달 가능성 문제는 결정 가능한 것으로 알려져 있지만 복잡성은 공개 된 문제입니다.
이제 금지 된 금지 표시 세트 ( 장애물 )가 있다고 가정 해 봅시다 . 도달 가능성의 문제가 여전히 결정 가능한지 알고 싶습니다.
직관적으로 유한 장애물 세트는 경로 만 로컬로 방해해야하므로 문제를 결정할 수 있어야합니다. 그러나 그것을 증명하는 것은 사소한 것처럼 보이지 않습니다.
EDIT . @ Jérôme의 답변을 허용되는 답변으로 유지하지만 후속 질문을 추가하고 싶습니다. 표시 세트가 이면 어떻게됩니까?Z d
답변
아이디어는 오늘 오후에 Grégoire Sutre와의 토론을 기반으로합니다.
문제는 다음과 같이 결정할 수 있습니다.
페트리 넷 는 전이라고하는 의 유한 쌍 세트입니다 . 전이 주어 우리로 나타낸다 구성들의 세트에 정의 된 이진 관계 의해 및 와 같은 벡터 가 있으면 . 우리는에 의해 나타내는 한 단계 접근 가능성과 관련하여 . 이 관계의 재귀적이고 전이적인 폐쇄는T N d × N d t = ( → u , → v ) t → N d → x t → → y → z ∈ N d → x = → u + → z → y = → v + → z T → ⋃ t ∈ T t → T ∗ →
하자 위에 고전 componentwise 부분 주문 될 에 의해 정의 가있는 경우 이러한 그 . 세트 의 위쪽 폐쇄는 벡터 의 세트 입니다. . 집합 의 하향 폐쇄는 벡터 의 집합 입니다. .≤ N의 D → 유 ≤ → X → Z ∈ N의 D → X = → U + → Z → X N D ↑ → X { → V ∈ N의 D | ∃ → X ∈ → X .
공지 그 경우 일부 제한된 세트 의 및 경우 페트리 네트, 우리는 새로운 페트리 네트를 계산할 수 모든 구성 에 대해 및 갖도록 경우에 한정해 . 실제로 가 전환이면 각 에 대해 여기서 는→ U =↑ → B → B NdTT → B → x , → y → x T → → y → x , → y ∈ → U → x T → B → → y t=( → u , → v ) → b ∈ → B t → b =( →
이제 는 Petri net 이라고 가정하고 , 장애물 세트 인 입니다. 유한 세트 합니다. 와 같이 의 유한 세트 를 효과적으로 계산할 수 있음을 관찰하십시오 . 하자 위에 정의 된 이진 관계 될 의해 경우 또는 존재 에 따라T → O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → x = → y → x ′ , → y ′ ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ →
이제 초기 구성 에서 장애물 를 피하는 마지막 구성 이 있으면 설정하면 해당 세트의 가장 기본적인 구성으로 전달됩니다 . 따라서, 문제는 비 결정적 별개 구성 선택 감소 에 , 수정 로 초기 구성 , 을 최종 구성 로 확인하십시오.→ x → y → O → O → D ∖ → O → c 1,…, → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1
답변
VAS와 동등한 상태 (VASS)를 가진 벡터 추가 시스템에 대한 귀하의 질문에 대해 생각 하고이 솔루션을 생각해 냈습니다. 이제 Jérôme의 좋은 답변을 읽었으며 내 답변이 매우 비슷 하다고 말해야하므로 내 말이 맞다고 생각하더라도 그의 답변을 수락하십시오.
아이디어 : VASS 를 VASS 로 변환 하여 장애물과 같거나 작은 벡터를 금지 할 수 있습니다. 벡터가 작지만 장애물과 같지 않은 벡터에 도달 할 수 있기 때문에 이것은 우리가 원하는 것이 아닙니다. 그러나 그러한 벡터는 무한히 많습니다. 이것은 최소 런을 의 전이 또는 의 동등한 런인 유한하게 많은 런으로 분해 할 수있게합니다 . 따라서, 예 , 문제는 decidable입니다.V V ‘ V V ‘
세부 사항 : 를 VASS로 지정하십시오. 즉, 는 유한 레이블이 지정된 그래프이므로 입니다. 하자 장애물 일 세트. 하자 및 우리 물품 마다 인 실행에서 로 마다 중간 구성 . 우리는V = ( Q , T ) D V T ⊆ Q × Z의 D × Q O ⊆ N D π ∈ T * X ⊆ N의 차원 P ( U ) π → X Q ( V ) π의 P ( U ) Q ( V ) Q × X ↓ X = { y : y ≤
하자 최소 실행될되도록 , 즉 최소한의 실행하도록 장애물을 피하십시오. 그런 다음 비둘기 구멍 원리에 따라 는 유한 한 횟수 만 들어가는 런으로 간주 할 수 있습니다 . 더 공식적으로, , 및 그러한π p ( u ) π → N d ∖ O q ( v ) π ↓ O ∖ O t 1 , t ′ 1 … , t n + 1 , t ′ n + 1 ∈ T ∪ { ε } π 1 , … , π n + 1 ∈ T ∗ { p i ( ui),qi(vi),ri(wi)}i∈[0,n+1]⊆Q×Nd
- π=t1π1t′1⋯tn+1πn+1t′n+1 ,
- ∀i∈[0,n] pi(ui)ti+1→Ndqi+1(vi+1)πi+1→Nd∖↓Ori+1(wi+1)t′i+1→Ndpi+1(ui+1)
- p0(u0)=p(u), pn+1(un+1)=q(v) ,
- ∀i∈[1,n] ui∈↓O∖O .
- n≤|Q|⋅|↓O|.
따라서 , 및 중간 구성 을 추측하면 충분 합니다. 를 새로운 것으로 변환하여 를 수행 할 수 있는지 테스트 -VASS 여기서 각 전이 는 전이 의 가젯으로 대체됩니다 . 예를 들어, 이면 전이는 다음과 같이 대체됩니다.nt1,t′1,…,tn+1,t′n+1p(x)∗→Nd∖↓Oq(y)VdV′t∈T4|O|+1O={(1,5),(2,3)}