동일한 n, k의 모든 가능한 값으로 조합의 합을 단순화 ( 87) + ( 88)(81)+(82)+(8삼)+(84)+(85)+(86)+(87)+(88)\dbinom{8}{1} +

이 방정식을 단순화하는 방법이 있습니까?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{삼}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

또는 더 일반적으로

\sum_{케이 = 1}^{엔} (\binom{엔}{케이})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

보다

그것은 말한다

\sum_{케이 = 0}^{엔} (\binom{엔}{케이}) = 2^{엔}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

이항 정리 ( 사용하여이를 증명할 수 있습니다 . $x = y = 1$

엑스 = 와이 = 1

$x=y=1$

이제부터 임의위한 , 그 다음 $(\binom{n}{0}) = 1$

(\binom{엔}{0}) = 1

$\binom{n}{0} = 1$ $n$

엔

$n$

\sum_{케이 = 1}^{엔} (\binom{엔}{케이}) = 2^{엔} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

귀하의 경우 이므로 답은 입니다. $n = 8$

엔 = 8

$n=8$ $2^{8} - 1 = 255$

2^{8} - 1 = 255

$2^8 - 1 = 255$

숙제?

힌트:

이항 정리를 기억하십시오 :

(엑스 + 와이)^{엔} = \sum_{케이 = 0}^{엔} (\binom{엔}{케이}) {엑스}^{케이} {와이}^{엔 - 케이}

$</p> <p>(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}</p> <p>$

$x^{k} y^{n - k}$

{엑스}^{케이} {와이}^{엔 - 케이}

$x^ky^{n-k}$

How IT