동일한 n, k의 모든 가능한 값으로 조합의 합을 단순화 ( 87) + ( 88)(81)+(82)+(8삼)+(84)+(85)+(86)+(87)+(88)\dbinom{8}{1} +

이 방정식을 단순화하는 방법이 있습니까?

(8 1) + (8 2) + (8 삼) + (8 4) + (8 5) + (8 6) + (8 7) + (8 8)

또는 더 일반적으로

\sum k = 1 엔 (n 케이)

보다

그것은 말한다

\sum k = 0 엔 (n 케이) = 2 엔

이항 정리 ( 사용하여이를 증명할 수 있습니다 . $x = y = 1$

엑스=와이=1

이제부터 임의위한 , 그 다음 $(\binom{n}{0}) = 1$

(엔0)=1

$n$

엔

\sum k = 1 엔 (n 케이) = 2 엔 - 1

귀하의 경우 이므로 답은 입니다. $n = 8$

엔=8

$2^{8} - 1 = 255$

28−1=255

숙제?

힌트:

이항 정리를 기억하십시오 :

(x + y) 엔 = \sum k = 0 엔 (n 케이) x 케이 와이 n - k

(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}

$x^{k} y^{n - k}$

엑스케이와이엔−케이

How IT