표준 편차에 대한 폐쇄 형 비 편향 추정기가 어떤 분포에 대해 있습니까? 수있는 결과 σ 바이어스.σ^unbiasedσ^unbiased\hat{\sigma}_\text{unbiased} 이로

정규 분포의 경우 다음과 같이 표준 편차에 대한 편견 추정기가 있습니다.

{\hat{σ}}_{unbiased} = \frac{Γ (\frac{n - 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})} \sqrt{\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\hat{\sigma}_\text{unbiased} = \frac{\Gamma(\frac{n-1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})} \sqrt{\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$

이 결과가 잘 알려지지 않은 이유는 그것이 수입이 큰 문제가 아니라 주로 큐리오이기 때문인 것으로 보인다 . 이 스레드에서 증명이 이루어 집니다 . 정규 분포의 주요 특성을 활용합니다.

\frac{1}{σ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \sim \chi^{2}_{n-1}$

거기에서 약간의 작업으로 $E (\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}})$

E (\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}})

$\mathbb{E}\left( \sqrt{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2} \right)$ , 그리고 배수 등이 응답 확인함으로써 $σ$

σ

$\sigma$ 들어, 우리가 추론 할 수있는 결과. ${\hat{σ}}_{unbiased}$

{\hat{σ}}_{unbiased}

$\hat{\sigma}_\text{unbiased}$

이로 인해 다른 분포에 표준 편차의 닫힌 형태의 편향 추정기가 있는지 궁금합니다. 편차의 편견 추정기와 달리 분포에 따라 다릅니다. 또한 다른 분포에 대한 추정값을 찾기 위해 증거를 수정하는 것은 간단하지 않습니다.

스큐-정규 분포는 이차 형태에 대한 훌륭한 분포 특성을 가지는데, 우리가 사용한 정규 분포 특성은 사실상 특수한 경우이므로 (정규는 스큐 법선의 특수 유형이므로) 아마도 그렇게 어렵지 않을 것입니다 이 방법을 그들에게 확장하십시오. 그러나 다른 배포의 경우 완전히 다른 접근 방식이 필요합니다.

이러한 견적자가 알려진 다른 배포판이 있습니까?

답변

이 질문에 직접적으로 연결되어 있지는 않지만 Peter Bickel과 Erich Lehmann 의 1968 년 논문 에는 볼록한 분포 군 에 대해 함수형 의 표본 추정값이 있습니다 (샘플 크기의 경우) 가 의 다항식 인 경우에만 충분히 큼 $F$

F

$F$ $q (F)$

q (F)

$q(F)$ $n$

n

$n$ $q (α F + (1 - α) G)$

q (α F + (1 - α) G)

$q(\alpha F+(1-\alpha)G)$ $0 \leq α \leq 1$

0 \leq α \leq 1

$0\le \alpha\le 1$ . 가우시안 분포의 모음이 볼록하지 않기 때문에 (이 가우스의 혼합은 가우시안이 아니므로)이 정리는 여기서 문제에 적용되지 않습니다.

문제의 결과의 확장은 때 충분한 관측치가있는 경우 표준 편차의 검정력 가 편견없이 추정 될 수 있다는 것 입니다. 이것은 결과 에서 따릅니다
$σ^{α}$

σ^{α}

$\sigma^\alpha$ $α < 0$

α < 0

$\alpha<0$
것을위한 스케일 (독특한) 파라미터

\frac{1}{σ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \sim \chi^{2}_{n-1}$ $σ$

σ

$\sigma$ $\sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$

\sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2$ .

This normal setting can then be extended to any location-scale family

X_{1}, \dots, X_{n} \overset{iid}{\sim} τ^{- 1} f (τ^{- 1} {x - μ})

$X_1,\ldots,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim} \tau^{-1}f(\tau^{-1}\{x-\mu\})$
with a finite variance $σ^{2}$

σ^{2}

$\sigma^2$ . Indeed,

the variance ${var}_{μ, τ} (X) = E_{μ, τ} [(X - μ)^{2}] = τ^{2} E_{0, 1} [X^{2}]$
$\text{var}_{\mu,\tau}(X)=\mathbb{E}_{\mu,\tau}[(X-\mu)^2]=\tau^2\mathbb{E}_{0,1}[X^2]$ is only a function of $τ$
$τ$
$\tau$ ;
the sum of squares $\begin{aligned} E_{μ, τ} [\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}] & = τ^{2} E_{μ, τ} [\sum_{k = 1}^{n} τ^{- 2} (X_{i} - μ - \bar{X} + μ)^{2}] \\ = τ^{2} E_{0, 1} [\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}] \end{aligned}$
$\begin{align*}\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]&=\tau^2\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\sum_{k=1}^n\tau^{-2}(X_i-\mu-\bar{X}+\mu)^2\right]\\ &=\tau^2\mathbb{E}_{0,1}\left[\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]\end{align*}$ has an expectation of the form $τ^{2} ψ (n)$
$τ^{2} ψ (n)$
$\tau^2\psi(n)$ ;
and similarly for any power $E_{μ, τ} [{\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}}^{α}] = τ^{2 α} E_{0, 1} [{\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}}^{α}]$
$\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\left\{\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right\}^\alpha\right]=\tau^{2\alpha}\mathbb{E}_{0,1}\left[\left\{\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right\}^\alpha\right]$ such that the expectation is finite.

답변

A probably well known case, but a case nevertheless.
Consider a continuous uniform distribution $U (0, θ)$

U (0, θ)

$U(0,\theta)$ . Given an i.i.d. sample, the maximum order statistic, $X_{(n)}$

X_{(n)}

$X_{(n)}$ has expected value

E (X_{(n)}) = \frac{n}{n + 1} θ

$E(X_{(n)}) = \frac {n}{n+1}\theta$

The standard deviation of the distribution is

σ = \frac{θ}{2 \sqrt{3}}

$\sigma = \frac {\theta}{2\sqrt 3}$

So the estimator

\hat{σ} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \frac{n + 1}{n} X_{(n)}

$\hat \sigma = \frac 1{2\sqrt 3}\frac {n+1}{n}X_{(n)}$

is evidently unbiased for $σ$

σ

$\sigma$ .

This generalizes to the case where the lower bound of the distribution is also unknown, since we can have an unbiased estimator for the Range, and then the standard deviation is again a linear function of the Range (as is essentially above also).

This exemplifies @whuber's comment, that "the amount of bias is a function of $n$

n

$n$ alone" (plus possibly any known constants) -so it can be deterministically corrected. And this is the case here.

How IT

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