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짧은 버전 :

나는 정상 성을 테스트하고있는 일련의 기후 데이터를 가지고 있습니다. 이전 연구에 따르면, 데이터의 기초가되는 (또는 “생성하기 위해”) 모델이 절편 항과 양의 선형 시간 추세를 가질 것으로 기대합니다. 이러한 데이터의 정상 성을 테스트하려면 인터셉트 및 시간 추세 (예 : 방정식 # 3) 가 포함 된 Dickey-Fuller 테스트를 사용해야 합니까?

$\nabla y_{t} = α_{0} + α_{1} t + δ y_{t - 1} + u_{t}$

\nabla {와이}_{티} = α_{0} + α_{1} 티 + δ {와이}_{티 - 1} + 유_{티}

$\nabla y_t = \alpha_0+\alpha_1t+\delta y_{t-1}+u_t$

또는 모형에 기초한 첫 번째 차이가 절편에만 있기 때문에 절편 만 포함 된 DF 검정을 사용해야합니까?

긴 버전 :

위에서 언급했듯이, 나는 정상 성을 테스트하고있는 일련의 기후 데이터를 가지고있다. 이전 연구에 따르면 데이터의 기초가되는 모델에 절편 항, 양의 선형 시간 추세 및 일부 정규 분포 오차 항이있을 것으로 예상됩니다. 즉, 기본 모델이 다음과 같이 보일 것으로 기대합니다.

$y_{t} = a_{0} + a_{1} t + β y_{t - 1} + u_{t}$

{와이}_{티} = ㅏ_{0} + ㅏ_{1} 티 + β {와이}_{티 - 1} + 유_{티}

$y_t = a_0 + a_1t + \beta y_{t-1} + u_t$

여기서 는 정규 분포입니다. 기본 모델에 절편과 선형 시간 추세가 모두 있다고 가정하기 때문에 다음과 같이 간단한 Dickey-Fuller 검정의 방정식 # 3 을 사용하여 단위 근을 테스트했습니다. $u_{t}$

유_{티}

$u_t$

$\nabla y_{t} = α_{0} + α_{1} t + δ y_{t - 1} + u_{t}$

\nabla {와이}_{티} = α_{0} + α_{1} 티 + δ {와이}_{티 - 1} + 유_{티}

$\nabla y_t = \alpha_0+\alpha_1t+\delta y_{t-1}+u_t$

이 테스트는 귀무 가설을 기각하고 기본 모델이 비정상적이라는 결론을 내릴 임계 값을 반환합니다. 그러나 기본 모델 에 인터셉트와 시간 추세가 있다고 가정 하더라도 첫 번째 차이 도 마찬가지 라는 것을 암시하지 않기 때문에이를 올바르게 적용하고 있는지 의문 입니다. 사실, 내 수학이 정확하다면 반대입니다. $\nabla y_{t}$

\nabla {와이}_{티}

$\nabla y_t$

가정 된 기본 모델의 방정식을 기반으로 첫 번째 차이를 계산하면 다음과 같이 나타납니다.
$\nabla y_{t} = y_{t} - y_{t - 1} = [a_{0} + a_{1} t + β y_{t - 1} + u_{t}] - [a_{0} + a_{1} (t - 1) + β y_{t - 2} + u_{t - 1}]$

\nabla {와이}_{티} = {와이}_{티} - {와이}_{티 - 1} = [ㅏ_{0} + ㅏ_{1} 티 + β {와이}_{티 - 1} + 유_{티}] - [ㅏ_{0} + ㅏ_{1} (티 - 1) + β {와이}_{티 - 2} + 유_{티 - 1}]

$\nabla y_t = y_t - y_{t-1} = [a_0 + a_1t + \beta y_{t-1} + u_t] - [a_0 + a_1(t-1) + \beta y_{t-2} + u_{t-1}]$

$\nabla y_{t} = [a_{0} - a_{0}] + [a_{1} t - a_{t} (t - 1)] + β [y_{t - 1} - y_{t - 2}] + [u_{t} - u_{t - 1}]$

\nabla {와이}_{티} = [a_{0} - a_{0}] + [a_{1} t - a_{t} (t - 1)] + β [y_{t - 1} - y_{t - 2}] + [u_{t} - u_{t - 1}]

$\nabla y_t = [a_0 - a_0] + [a_1t - a_t(t-1)] + \beta[y_{t-1} - y_{t-2}] + [u_t - u_{t-1}]$

$\nabla y_{t} = a_{1} + β \cdot \nabla y_{t - 1} + u_{t} - u_{t - 1}$

\nabla y_{t} = a_{1} + β \cdot \nabla y_{t - 1} + u_{t} - u_{t - 1}

$\nabla y_t = a_1 + \beta \cdot \nabla y_{t-1} + u_t - u_{t-1}$

따라서 첫 번째 차이 는 시간 추세가 아니라 절편 만있는 것으로 보입니다. $\nabla y_{t}$

\nabla y_{티}

$\nabla y_t$

내 질문은 유사하다 생각 이 하나 , 나는 확실히 내 질문에 그 대답을 적용하는 방법을 모르겠어요 예외입니다.

샘플 데이터 :

다음은 작업중 인 샘플 온도 데이터 중 일부입니다.

답변

시계열의 첫 번째 차이와 관련하여 확대 된 Dickey-Fuller 회귀 분석에서 결정 론적 용어를 지정하려면 시계열 수준 의 드리프트 및 (파라 메트릭 / 선형) 추세를 고려해야합니다 . 혼란은 당신이 한 방식으로 첫 번째 차이 방정식을 도출하는 것에서 발생합니다.

Dickey-Fuller 회귀 모형

계열의 수준에 드리프트 및 추세 항

이 경우 대한 귀무 가설은 입니다.

{와이}_{티} = β_{0, 엘} + β_{1, 엘} 티 + β_{2, 엘} {와이}_{티 - 1} + ε_{티}

$Y_t = \beta_{0,l} + \beta_{1,l} t + \beta_{2, l}Y_{t-1} + \varepsilon_{t}$ $H_{0} : β_{2, l} = 1$

H_{0} : β_{2, 엘} = 1

$\mathfrak{H}_0{}:{}\beta_{2, l} = 1$

이 데이터 생성 프로세스 [DGP]에 의해 암시 된 첫 번째 차이점에 대한 한 가지 방정식은 을 도출 한 것입니다.

그러나 이것은 테스트에서 사용 된 (증강 된) Dickey Fuller 회귀가 아닙니다.

Δ {와이}_{티} = β_{1, 엘} + β_{2, 엘} Δ {와이}_{티 - 1} + Δ ε_{티}

$\Delta Y_t = \beta_{1,l} + \beta_{2, l}\Delta Y_{t-1} + \Delta \varepsilon_{t}$

대신, 첫 번째 방정식의 양쪽에서 을 빼서 생성
하여 올바른 버전을 얻을 수 있습니다. 이것은 (증강 된) Dickey-Fuller 회귀이며, 비정규성에 대한 귀무 가설의 동등한 버전은 검정 위 회귀 분석에서 의 OLS 추정값을 사용한 t- 검정 입니다. 드리프트와 트렌드는이 사양을 그대로 유지합니다. $Y_{t - 1}$

{와이}_{티 - 1}

$Y_{t-1}$

\begin{aligned} Δ {와이}_{티} & = β_{0, 엘} + β_{1, 엘} 티 + (β_{2, 엘} - 1) {와이}_{티 - 1} + ε_{티} \\ \equiv β_{0, 디} + β_{1, 디} 티 + β_{2, 디} {와이}_{티 - 1} + ε_{티} \end{aligned}

$\begin{align} \Delta Y_t &= \beta_{0,l} + \beta_{1,l} t + (\beta_{2, l}-1)Y_{t-1} + \varepsilon_{t} \\ &\equiv \beta_{0,d} + \beta_{1,d}t + \beta_{2,d}Y_{t-1} + \varepsilon_{t} \end{align}$
$H_{0} : β_{2, d} = 0$

H_{0} : β_{2, 디} = 0

$\mathfrak{H}_0{}:{}\beta_{2, d}=0$ $β_{2, d}$

β_{2, 디}

$\beta_{2, d}$

시계열 수준에서 선형 추세가 있는지 확실하지 않은 경우 선형 추세와 단위 근, 즉 공동으로 테스트 할 수 있습니다. 은 적절한 임계 값으로 F- 검정을 사용하여 테스트 할 수 있습니다. 이러한 테스트 및 임계 값은 패키지 의 R 기능 으로 생성됩니다 . $H_{0} : [β_{2, d}, β_{1, l}]^{'} = [0, 0]^{'}$

H_{0} : [β_{2, 디}, β_{1, 엘}]^{‘} = [0, 0]^{‘}

$\mathfrak{H}_0{}:{}[\beta_{2, d}, \beta_{1,l}]' = [0, 0]'$ ur.dfurca

몇 가지 예를 자세히 살펴 보겠습니다.

예

1. 미국 투자 시리즈 사용

첫 번째 예는 Lutkepohl and Kratzig (2005, pg. 9) 에서 논의 된 미국 투자 시리즈를 사용합니다 . 시리즈의 플롯과 첫 번째 차이점은 다음과 같습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

계열의 수준에서 평균이 0이 아닌 것으로 보이지만 선형 추세는 없습니다. 따라서, 우리는 연속적인 상관 관계를 설명하기 위해 인터셉트와 함께 종속 Dickey Fuller 회귀를 보강하고, 종속 변수의 3 개 지연을 진행합니다.

회귀 방정식을 차이로 지정하기 위해 레벨을 살펴본 요점에 유의하십시오.

Δ {와이}_{티} = β_{0, 디} + β_{2, 디} {와이}_{티 - 1} + \sum_{제이 = 1}^{삼} γ_{제이} Δ {와이}_{티 - 제이} + ε_{티}

$\Delta Y_t = \beta_{0,d} + \beta_{2,d}Y_{t-1} + \sum_{j=1}^3 \gamma_j \Delta Y_{t-j} + \varepsilon_{t}$

이를 수행하는 R 코드는 다음과 같습니다.

    library(urca)
    library(foreign)
    library(zoo)

    tsInv <- as.zoo(ts(as.data.frame(read.table(
      "http://www.jmulti.de/download/datasets/US_investment.dat", skip=8, header=TRUE)),
                       frequency=4, start=1947+2/4))
    png("USinvPlot.png", width=6,
        height=7, units="in", res=100)
    par(mfrow=c(2, 1))
    plot(tsInv$USinvestment)
    plot(diff(tsInv$USinvestment))
    dev.off()

    # ADF with intercept
    adfIntercept <- ur.df(tsInv$USinvestment, lags = 3, type= 'drift')
    summary(adfIntercept)

결과는 추정 된 계수에 기초한 t- 검정을 사용하여이 시리즈에 대해 비정규 성 귀무 가설을 기각 할 수 있음을 나타냅니다. 절편과 기울기 계수의 결합 F- 검정 ( ) 계열에 단위근이 있다는 귀무 가설을 기각합니다. $H : [β_{2, d}, β_{0, l}]^{'} = [0, 0]^{'}$

H : [β_{2, 디}, β_{0, 엘}]^{‘} = [0, 0]^{‘}

$\mathfrak{H}{}:{}[\beta_{2, d}, \beta_{0,l}]' = [0, 0]'$

2. 독일어 (로그) 소비 시리즈 사용

두 번째 예는 독일의 계절별 계절 조정 시계열을 사용하는 것입니다. 시리즈의 플롯과 그 차이점은 다음과 같습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

계열 수준에서 계열에 추세가 있음이 분명하므로 연속 상관 관계를 설명하기 위해 첫 번째 차이의 네 가지 지연과 함께 증가 된 Dickey-Fuller 회귀 분석의 추세를 포함합니다.

Δ {와이}_{티} = β_{0, 디} + β_{1, 디} 티 + β_{2, 디} {와이}_{티 - 1} + \sum_{제이 = 1}^{4} γ_{제이} Δ {와이}_{티 - 제이} + ε_{티}

$\Delta Y_t = \beta_{0,d} + \beta_{1,d}t + \beta_{2,d}Y_{t-1} + \sum_{j=1}^4 \gamma_j \Delta Y_{t-j} + \varepsilon_{t}$

이를 수행하는 R 코드는

# using the (log) consumption series
tsConsump <- zoo(read.dta("http://www.stata-press.com/data/r12/lutkepohl2.dta"), frequency=1)
png("logConsPlot.png", width=6,
    height=7, units="in", res=100)
par(mfrow=c(2, 1))
plot(tsConsump$ln_consump)
plot(diff(tsConsump$ln_consump))
dev.off()

# ADF with trend
adfTrend <- ur.df(tsConsump$ln_consump, lags = 4, type = 'trend')
summary(adfTrend)

결과는 추정 된 계수에 기초하여 t- 검정을 사용하여 비정상 성이없는 널을 기각 할 수 없음을 나타냅니다. 선형 추세 계수와 기울기 계수의 결합 F- 검정 ( )는 비정상 성이 아닌 null을 거부 할 수 없음을 나타냅니다. $H : [β_{2, d}, β_{1, l}]^{'} = [0, 0]^{'}$

H : [β_{2, 디}, β_{1, 엘}]^{‘} = [0, 0]^{‘}

$\mathfrak{H}{}:{}[\beta_{2, d}, \beta_{1,l}]' = [0, 0]'$

3. 주어진 온도 데이터 사용

이제 데이터 속성을 평가할 수 있습니다. 레벨과 첫 번째 차이점의 일반적인 플롯은 다음과 같습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

이는 데이터에 가로 채기와 추세가 있음을 나타내므로 다음 R 코드를 사용하여 지연된 첫 번째 차이 항이없는 ADF 테스트를 수행합니다.

# using the given data
tsTemp <- read.table(textConnection("temp
64.19749
65.19011
64.03281
64.99111
65.43837
65.51817
65.22061
65.43191
65.0221
65.44038
64.41756
64.65764
64.7486
65.11544
64.12437
64.49148
64.89215
64.72688
64.97553
64.6361
64.29038
65.31076
64.2114
65.37864
65.49637
65.3289
65.38394
65.39384
65.0984
65.32695
65.28
64.31041
65.20193
65.78063
65.17604
66.16412
65.85091
65.46718
65.75551
65.39994
66.36175
65.37125
65.77763
65.48623
64.62135
65.77237
65.84289
65.80289
66.78865
65.56931
65.29913
64.85516
65.56866
64.75768
65.95956
65.64745
64.77283
65.64165
66.64309
65.84163
66.2946
66.10482
65.72736
65.56701
65.11096
66.0006
66.71783
65.35595
66.44798
65.74924
65.4501
65.97633
65.32825
65.7741
65.76783
65.88689
65.88939
65.16927
64.95984
66.02226
66.79225
66.75573
65.74074
66.14969
66.15687
65.81199
66.13094
66.13194
65.82172
66.14661
65.32756
66.3979
65.84383
65.55329
65.68398
66.42857
65.82402
66.01003
66.25157
65.82142
66.08791
65.78863
66.2764
66.00948
66.26236
65.40246
65.40166
65.37064
65.73147
65.32708
65.84894
65.82043
64.91447
65.81062
66.42228
66.0316
65.35361
66.46407
66.41045
65.81548
65.06059
66.25414
65.69747
65.15275
65.50985
66.66216
66.88095
65.81281
66.15546
66.40939
65.94115
65.98144
66.13243
66.89761
66.95423
65.63435
66.05837
66.71114"), header=T)
tsTemp <- as.zoo(ts(tsTemp, frequency=1))

png("tempPlot.png", width=6,
    height=7, units="in", res=100)
par(mfrow=c(2, 1))
plot(tsTemp$temp)
plot(diff(tsTemp$temp))
dev.off()

# ADF with trend
adfTrend <- ur.df(tsTemp$temp, type = 'trend')
summary(adfTrend)

t- 검정 및 F- 검정 모두에 대한 결과는 온도 시리즈에 대해 비정규 성 널을 기각 할 수 있음을 나타냅니다. 나는 그것이 문제를 다소 명확하게하기를 바랍니다.

답변

Dickey-Fuller 검정의 귀무 가설은 프로세스에 단위 루트가 있다는 것입니다. 따라서 null을 거부하면 공정이 고정되어 있습니다 (가설 테스트의 일반적인 경고와 함께).

수학에 관해, 표현

\nabla {와이}_{티} = α_{0} + α_{1} 티 + δ {와이}_{티 - 1} + 유_{티}

$\nabla y_t=\alpha_0+\alpha_1 t+\delta y_{t-1}+u_t$

$\nabla y_{t}$

\nabla {와이}_{티}

$\nabla y_t$ $\nabla y_{t}$

\nabla {와이}_{티}

$\nabla y_t$ $y_{t - 1}$

{와이}_{티 - 1}

$y_{t-1}$ $y_{t - 1}$

{와이}_{티 - 1}

$y_{t-1}$ $\nabla y_{t - 1}$

\nabla {와이}_{티 - 1}

$\nabla y_{t-1}$

답변

이전 답변은 훌륭했습니다.

일반적으로 플롯을 기반으로 구현할 테스트를 결정합니다. 이 경우 데이터에 가로 채기와 경향이있는 것으로 보입니다.

레벨에서 단위 루트를 테스트하는 경우 인터셉트 및 트렌드 모델을 사용합니다. 테스트를 다르게 실행하면 인터셉트 모델 만 사용하게됩니다.

이 데이터에 대해 계절별 테스트를 사용하도록 권장해야하므로이 질문에 답했습니다. 이 테스트는 실제로 복잡합니다 (계절별 작업은 쉽지 않습니다). 그러나 데이터의 특성 (온도)과 플롯에서 계절별 동작을 관찰 할 수 있습니다. 그런 다음 HEGY 테스트를 연구하고 추정치가 강력 해 지도록 구현해야합니다.

How IT

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절편 / 드리프트 및 선형 추세로 모델링 된 시계열에 대해 어떤 Dickey-Fuller 테스트를 수행합니까? 오차 항이있을 것으로 예상됩니다. 즉, 기본 모델이

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긴 버전 :

샘플 데이터 :

답변

Dickey-Fuller 회귀 모형

예

1. 미국 투자 시리즈 사용

2. 독일어 (로그) 소비 시리즈 사용

3. 주어진 온도 데이터 사용

답변

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