Elo 등급 시스템은 쌍 비교에서 결과의 예상 확률과 관측 확률 사이의 교차 엔트로피 손실 함수의 경사 하강 최소화 알고리즘을 사용합니다. 일반적인 손실 함수를 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$E=-\sum_{n,i} p_i Log (q_i)$$

여기서 합계는 모든 결과 및 모든 상대 됩니다.
는 이벤트 의 관측 된 주파수 이고 는 예상 된 주파수입니다.n p i i q ii

$i$

$i$n

$n$

$n$pi

$p_i$

$p_i$i

${}_i$

$_i$qi

$q_i$

$q_i$

두 가지 가능한 결과 (승리 또는 느슨한)와 한 명의 상대의 경우

$$E=-p Log (q)-(1-p)Log(1-q)$$

경우 π나는

${\pi }_i$

$\pi_i$ 하여 플레이어의 순위가되고 나는

$i$

$i$ 과 π제이

${\pi }_j$

$\pi_j$ 하여 플레이어의 순위입니다 제이

$j$

$j$ 우리는 기대 확률 구축 할 수
qj=e π j

$$q_i=\frac{e^{\pi_i}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}}$$

$$q_j=\frac{e^{\pi_j}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}}$$
그라디언트 하강 업데이트 규칙에 따라 사용

$$\pi_i'=\pi_i-\eta (q_i-p_i)$$

$$\pi_j'=\pi_j-\eta (q_j-p_j)$$

여기서 큐나는

$q_i$

$q_i$ 및 피나는

$p_i$

$p_i$ 는 플레이어 j 에 대한 플레이어 i 의 예상 및 관측 된 승률입니다 . 이것이 업데이트 규칙입니다.나는

$i$

$i$제이

$j$

$j$two outcomes

추첨이 존재하면 위의 모델을 포함하여 세 번째 결과를 확률로 일반화 할 수 있습니다

qi(w)=eπi

$$q(d)=\frac{\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$
의 QJ(w)=EπJ

$$q_i(w)=\frac{ e^{\pi_i}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$

$$q_j(w)=\frac{ e^{\pi_j}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$

그리고 Loss 함수를

$$E=-p(w)Log(q(w))-(1-p(w)-p(d))Log(q(l))-p(d)Log(q(d))$$

여기서 각각의 관측 가능성이있는 , 그리고 및 의 예상 가능성 , 및 . 후자의 경우 업데이트 규칙은q ( w ) , q ( l ) , q ( d )p ( w ) , p ( l ) , p ( d)

$p(w),p(l),p(d)$

$p(w),p(l),p(d)$winloosedraw큐( w ) , q( l ) , q(d)

$q(w),q(l),q(d)$

$q(w),q(l),q(d)$winloosedraw

$$\pi_i'=\pi_i-\eta (q_i(w)+\frac{q_i(d)}{2}-p_i(w)-\frac{p_i(d)}{2})$$

$$\pi_j'=\pi_j-\eta (q_j(w)+\frac{q_j(d)}{2}-p_j(w)-\frac{p_j(d)}{2})$$

여기서 및 는 플레이어 가 플레이어 에 대해 이길 수 있는 예상 확률입니다 . 그리고 여기서 및 는 플레이어 가 플레이어 에 대해 이길 수 있는 관측 된 확률입니다 . 이것이 업데이트 규칙입니다.q j ( d ) i j p i ( w ) p i ( d큐제이( w )

$q_j(w)$

$q_j(w)$큐제이(d)

$q_j(d)$

$q_j(d)$나는

$i$

$i$제이

$j$

$j$피나는( w )

$p_i(w)$

$p_i(w)$나 일본피나는( d)

$p_i(d)$

$p_i(d)$나는

$i$

$i$제이

$j$

$j$three outcome

문제는 Elo 등급 시스템 two outcomes이 무승부 상황에서도 업데이트 규칙을 사용하는 이유 는 무엇입니까?

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답변