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Kolmogorov의 무작위성 이 RP에 충분 하다는 것을 보여 주려는 시도가 있었습니까? “정답이 YES이면 확률 론적 튜링 머신은 YES를 확률과 함께 반환합니다”라는 문장에 사용 된 확률이 항상 잘 정의되어 있습니까? 아니면 해당 확률에 대한 상한과 하한 만 있습니까? 아니면 확률이 잘 정의 된 확률 적 튜링 머신 만 있을까요 (적어도 하한은 1/2보다 커야합니까)?

여기서 RP 클래스는 비교적 임의적이며, Kolmogorov 임의성보다 (의사) 임의성에 대한 약한 개념을 요구할 수도 있습니다. 그러나 Kolmogorov의 무작위성은 좋은 출발점이 될 것 같습니다.

“확률”이라는 단어를 이해하는 것은 Kolmogorov의 무작위성이 RP에 효과적이라는 것을 보여주는 시도의 일부일 것입니다. 그러나 가능한 한 가지 접근 방식을 설명하고 그 의미가 무엇인지, 왜 상한과 하한에 대해 이야기했는지 설명하려고합니다.

를 (콜 모고 로프 임의의) 문자열로 하자 . 를 RP의 언어에 해당하는 주어진 확률 적 튜링 머신 이라고하자 . 실행 와 랜덤 비트의 소스로서 에서 이전에 사용되지 않은 비트 소모 지속 시간, 하나씩. $s$

s

$s$ $A$

A

$A$ $A$

A

$A$ $s$

s

$s$ $n$

n

$n$ $s$

s

$s$

들어 ,하자 및 . 그 관찰 와 아니라 주어진 문자열에 대해 정의 된 그것이 무작위하지 않을 경우에도. 그러나 가 Kolmogorov 임의 경우 인지 또는 두 개의 임의 Kolmogorov 임의 문자열 및 대해 입니다. 또는 Kolmogorov 임의 문자열에 대해 와 같은 가 있는지 여부 $p_{n}^{s} := \frac{#YES result in first n runs of A on s}{n}$

p_{n}^{s} := \frac{#YES result in first n runs of A on s}{n}

$p_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}$ $p_{+}^{s} := \underset{n \to \infty}{lim sup} p_{n}^{s}$

p_{+}^{s} := \underset{n \to \infty}{lim sup} p_{n}^{s}

$p_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s$ $p_{-}^{s} := \underset{n \to \infty}{lim inf} p_{n}^{s}$

p_{-}^{s} := \underset{n \to \infty}{lim inf} p_{n}^{s}

$p_-^s:=\liminf_{n\to\infty}p_n^s$ $p_{+}^{s}$

p_{+}^{s}

$p_+^s$ $p_{-}^{s}$

p_{-}^{s}

$p_-^s$ $s$

s

$s$ $p_{+}^{s} = p_{-}^{s}$

p_{+}^{s} = p_{-}^{s}

$p_+^s=p_-^s$ $s$

s

$s$ $p_{-}^{s_{1}} = p_{-}^{s_{2}}$

p_{-}^{s_{1}} = p_{-}^{s_{2}}

$p_-^{s_1}=p_-^{s_2}$ $s_{1}$

s_{1}

$s_1$ $s_{2}$

s_{2}

$s_2$ $p \geq 1 / 2$

p \geq 1 / 2

$p\geq 1/2$ $p \leq p_{-}^{s}$

p \leq p_{-}^{s}

$p\leq p_-^s$ $s$

s

$s$ .

답변

나는 여기서 “질문은 대략” ” 우리는 알고리즘에서 임의의 비트 시퀀스를 적절하게 긴 콜로 모고 로프 임의의 문자열에서 결정적으로 추출 된 비트로 대체 할 수있는 감각 이 있는가? ” 대답! (짧은 대답은 “예,하지만 먼저 오류 확률을 증폭 한 경우에만”입니다.)

예…

우리는 분명히 여기서 말할 수 있습니다. 하자 일부 언어하고하자 입력으로 취 알고리즘 될 랜덤 문자열 (위에 균일 분포 ) st . 즉, 는 최대 확률로 오류를 일으키는 알고리즘입니다 . $L$

L

$L$ $A$

A

$A$ $x$

x

$x$ $r \in U_{f (| x |)}$

r \in U_{f (| x |)}

$r\in U_{f(|x|)}$ ${0, 1}^{f (| x |)}$

{0, 1}^{f (| x |)}

$\{0,1\}^{f(|x|)}$ $Pr [A (x, r) = L (x)] > 1 - ϵ (x)$

Pr [A (x, r) = L (x)] > 1 - ϵ (x)

$\Pr[A(x,r)=L(x)]>1-\epsilon(x)$ $A$

A

$A$ $ϵ (\cdot)$

ϵ (\cdot)

$\epsilon(\cdot)$

공지 사항 지금하면 것을 에 대한 오답 제공 즉, ,이 우리에게 설명하는 몇 가지 수단 제공 , 특히를, 우리는 그것을 설명 할 수 에서 가 오류 를 일으키는 번째 문자열 이를 위해, 우리는 단순히 , , 및 비트 을 하드 코딩 한 기계를 만들고 에서 선택을 열거합니다. 가 발견 될 때까지 의 번째 선택 이되도록 . $A$

A

$A$ $(x, r)$

(x, r)

$(x,r)$ $A (x, r) \neq L (x)$

A (x, r) \neq L (x)

$A(x,r)\not=L(x)$ $r$

r

$r$ $i$

i

$i$ $A$

A

$A$ $x .$

x .

$x.$ $x$

x

$x$ $A$

A

$A$ $i$

i

$i$ $b = 1 ⟺ x \in L$

b = 1 ⟺ x \in L

$b=1\iff x\in L$ $r^{'}$

r^{'}

$r'$ ${0, 1}^{f (| x |)}$

{0, 1}^{f (| x |)}

$\{0,1\}^{f(|x|)}$ $i$

i

$i$ $r^{'}$

r^{'}

$r'$ $A (x, r^{'}) \neq b$

A (x, r^{'}) \neq b

$A(x,r')\not= b$

이제 임의의 문자열을 잘못 선택하여 설명으로 활용할 수 있음을 알았으므로 에 대한 설명을 압축으로 변환 하기에 충분한 조건을 살펴 보겠습니다 . 을 설명 하기 위해 , , 를 설명 할 수있는 충분한 비트가 필요하며 프로 시저 코드 ( 코드 와 설명 된 루틴)를 길이 $r$

r

$r$ $r$

r

$r$ $x$

x

$x$ $i$

i

$i$ $b$

b

$b$ $A$

A

$A$

| x | + | i | + O (1) = | x | + \log_{2} (2^{f (| x |)} ϵ (x)) + O (1) = | x | + f (| x |) - \log (1 / ϵ (x)) + O (1) .

$|x|+|i|+O(1)=|x|+\log_2(2^{f(|x|)}\epsilon(x))+O(1)=|x|+f(|x|)-\log(1/\epsilon(x))+O(1).$

회수는 길이이다 이 압축 변형하므로, 경우 예를 들면, 입니다. $r$

r

$r$ $f (| x |)$

f (| x |)

$f(|x|)$ $r$

r

$r$

\log (1 / ϵ (x)) = | x | + ω (1),

$\log(1/\epsilon(x)) = |x|+\omega(1),$ $ϵ (x) = 1 / 2^{2 | x |}$

ϵ (x) = 1 / 2^{2 | x |}

$\epsilon(x)=1/2^{2|x|}$

마지막으로 이 Kolmogorov 임의 문자열 인 경우 의 오류 확률 이 충분히 작은 한 임의의 비트 시퀀스 대신 Kolmogorov 임의 문자열이 에 응답하게됩니다. 바르게! $r$

r

$r$ $A$

A

$A$ $A$

A

$A$

우리가 에 대해 활용하는 유일한 것은 오류 확률이 작다는 것입니다. 실행 시간이 너무 길거나 한두 가지 오류가 있는지는 신경 쓰지 않습니다 . $A$

A

$A$ $A$

A

$A$ $A$

A

$A$

이것을 (또는 또는 ) 문제로 다시 가져 오면 알고리즘의 오류 확률을 증폭시키는 한 임의의 비트 대신 Kolmogorov 임의 문자열을 사용할 수 있다고합니다. $R P$

R P

$RP$ $c o R P$

c o R P

$coRP$ $B P P$

B P P

$BPP$

…하지만 먼저 증폭해야합니다.

후속 질문은 “오류 확률을 증폭시키지 않고 이것을 할 수 있습니까?” 를 결정 하고 오차가 다음 알고리즘 를 고려하십시오 . $A$

A

$A$ ${0, 1}^{*}$

{0, 1}^{*}

$\{0,1\}^*$ $1 / 2^{n}$

1 / 2^{n}

$1/2^n$

입력 : $x$

x

$x$

문자열 생성 $r \in {0, 1}^{n}$
만일 , 거절. $r = x$
동의하기.

공지 사항의 모든 선택에 대한 것을 의 몇 가지 선택이 있도록 것이 단점 ,의, 즉 선택 그 입니다 우리가 사용하는 비트의 임의의 순서로 대체 할 수 있도록 증폭없이 콜 모고 로프 임의의 문자열을 오류 확률입니다! $r$

r

$r$ $x$

x

$x$ $A$

A

$A$ $x$

x

$x$ $r$

r

$r$ $x$

x

$x$ $A$

A

$A$

출처에 대한 참고 사항 :이 중 어떤 것이 소설인지 확실하지 않지만, 자격 시험을위한 글쓰기에 첫 번째 주장을 포함 시켰습니다.

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RP에 대해 진정한 임의성 (아마도)을 Kolmogorov 임의성으로 대체 할 수 있습니까? n s에스ssㅏAAㅏAA에스ss엔nn에스ss 들어 ,하자

답변

예…

…하지만 먼저 증폭해야합니다.

답변