quantile-regression Archives

Quantile 회귀에 대한 직관적이고 접근 가능한 설명을 얻고 싶습니다.

결과 대한 간단한 데이터 세트 와 예측 변수 가 있다고 가정 해 봅시다 . $Y$

Y

$Y$ $X_{1}, X_{2}$

X_{1}, X_{2}

$X_1, X_2$

예를 들어, 나는 .25, .5, .75에서 Quantile 회귀를 실행하고 $β_{0, .25}, β_{1, .25} . . . β_{2, .75}$

β_{0, .25}, β_{1, .25} . . . β_{2, .75}

$\beta_{0,.25},\beta_{1,.25}...\beta_{2,.75}$ .

입니까 $β$

β

$\beta$ 값은 단순히 주문 발견 $y$

y

$y$ 값을 주어진 분위수 근처 /에있는 실시 예에 기초한 선형 회귀 분석을 수행?

또는 Quantile로부터의 거리가 증가함에 따라 모든 샘플이 $β$

β

$\beta$ 추정값에 기여 합니까?

아니면 완전히 다른 것입니까? 아직 접근 가능한 설명을 찾지 못했습니다.

시작점은 데이터 세트의 중앙값이 절대 오차의 합을 최소화 한다는 관찰입니다 . 즉, 50 % Quantile은 특정 최적화 문제에 대한 솔루션입니다 (절대 오류의 합계를 최소화하는 값 찾기).
이로부터 모든 quantile이 특정 최소화 문제에 대한 해결책, 즉 의존하는 가중치 로 비대칭 적으로 가중 된 절대 오차 의 합을 최소화하는 것이 쉽다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. $τ$
마지막으로 회귀 단계를 만들기 위해 예측 변수의 선형 조합으로이 최소화 문제에 대한 솔루션을 모델링하므로 이제 문제는 단일 값이 아니라 회귀 매개 변수 집합을 찾는 것 중 하나입니다.

따라서 직감은 매우 정확합니다. 모든 표본 은 우리가 목표로 하는 Quantile 에 따라 비대칭 가중치로 추정에 기여합니다 . $β$

β

$\beta$ $τ$

τ

$\tau$

Quantile 회귀 분석의 기본 아이디어는 분석가가 단지 데이터가 아니라 데이터 배포에 관심이 있다는 사실에서 비롯됩니다. 평균부터 시작하겠습니다.

$y = X β$

y = X β

$y=X\beta$ $E (Y | X = x) = x β$

E (Y | X = x) = x β

$E(Y|X=x)=x\beta$ $\arg min_{β} (y - x β)^{'} (y - X β)$

\arg min_{β} (y - x β)^{'} (y - X β)

$\arg\min_\beta (y-x\beta)'(y-X\beta)$

$\arg min_{β} | y - X β |$

\arg min_{β} | y - X β |

$\arg\min_\beta |y-X\beta|$ $| . |$

| . |

$|.|$

$α$

α

$\alpha$

Q- 회귀는 데이터의 Quantile을 찾은 다음 해당 하위 집합 (또는 더 어려운 경계)에 선을 맞추는 것과는 조금 다릅니다.

$α$

α

$\alpha$

{\hat{β}}_{α} = \arg min_{β} {α | y - X β | I (y > X β) + (1 - α) | y - X β | I (y < X β)} .

$\hat\beta_\alpha=\arg\min_\beta \bigg\{\alpha |y-X\beta| I(y>X\beta) + (1-\alpha) |y-X\beta|I(y<X\beta)\bigg\}.$

보시다시피이 영리한 대상 함수는 Quantile을 최적화 문제로 변환하는 것 이상입니다.

$β_{α}$

β_{α}

$\beta_\alpha$

How IT