제 생각에, Cox-Jaynes 확률에 대한 해석은 베이지안 확률에 대한 엄격한 기초를 제공합니다.

• Cox, Richard T. “확률, 빈도 및 합리적인 기대.” 미국 물리학 저널 14.1 (1946) : 1-13.
• Jaynes, Edwin T. 확률 이론 : 과학의 논리. 케임브리지 대학 출판부, 2003.
• Beck, James L. “확률 논리에 기초한 바이아 시스템 식별” 구조 제어 및 건강 모니터링 17.7 (2010) : 825-847.

Cox에 의해 도출 된 확률 논리의 공리는 다음과 같습니다.

1. (P1) : (일반적으로)Pr[b|a]≥0
   $Pr[b|a]\ge 0$

   $\Pr[b|a]\ge0$

2. (P2) : (음수 함수)Pr[b¯¯|a]=1−Pr[b|a]
   $Pr[\overline{b}|a]=1-Pr[b|a]$

   $\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$

3. (P3) : (접합 기능)Pr[b∩c|a]=Pr[c|b∩a]Pr[b|a]
   $Pr[b\cap c|a]=Pr[c|b\cap a]Pr[b|a]$

   $\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

공리 P1-P3은 다음을 암시한다 (Beck, James L. “확률 논리에 기초한 베이시스 시스템 식별”구조 제어 및 건강 모니터링 17.7 (2010) : 825-847) :

4. (P4) : a) ; b) Pr [ ¯ b | B ∩ C ] = 0 ; c) Pr [ b | c ] ∈ [ 0 , 1 ]Pr[b|b∩c]=1
   $Pr[b|b\cap c]=1$

   $\Pr[b|b\cap c] = 1$Pr[b¯¯|b∩c]=0

   $Pr[\overline{b}|b\cap c]=0$

   $\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$Pr[b|c]∈[0,1]

   $Pr[b|c]\in [0,1]$

   $\Pr[b|c]\in[0,1]$

5. (P5) : a) , b) Pr [ a | c ∩ ( a ⇔ b ) ] = Pr [ b | c ∩ ( a ⇔ b ) ] , 여기서 a ⇒ b 는 aPr[a|c∩(a⇒b)]≤Pr[b|c∩(a⇒b)]
   $Pr[a|c\cap (a\Rightarrow b)]\le Pr[b|c\cap (a\Rightarrow b)]$

   $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$Pr[a|c∩(a⇔b)]=Pr[b|c∩(a⇔b)]

   $Pr[a|c\cap (a\iff b)]=Pr[b|c\cap (a\iff b)]$

   $\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$a⇒b

   $a\Rightarrow b$

   $a \Rightarrow b$a

   $a$

   $a$ 에 포함 된 및 ⇔c

   $c$

   $c$ 는a⇔b

   $a\iff b$

   $a \Leftrightarrow b$ 가 b 와 같다는.a

   $a$

   $a$b

   $b$

   $b$

6. (P6) : Pr[a∪b|c]=Pr[a|c]+Pr[b|c]−Pr[a∩b|c]
   $Pr[a\cup b|c]=Pr[a|c]+Pr[b|c]-Pr[a\cap b|c]$

   $\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$

7. (P7) : 발의안 가 발의안 b 1 , … , b N 중 하나만 참인 것으로 가정하면 다음과 같습니다.
   c
   $c$

   $c$b1,…,bN

   $b_1,\dots ,b_N$

   $b_1,\ldots,b_N$

   • a) 한계 화 정리 : Pr[a|c]=∑Nn=1P[a∩bn|c]
     $Pr[a|c]=\sum _{n=1}^{N}P[a\cap b_n|c]$

     $\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$

   • b) 총 확률 정리 : Pr[a|c]=∑Nn=1Pr[a|bn∩c]Pr[bn|c]
     $Pr[a|c]=\sum _{n=1}^{N}Pr[a|b_n\cap c]Pr[b_n|c]$

     $\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$

   • c) 베이 즈 정리 : : Pr [ b k | a ∩ c ] = Pr [ a | b k ∩ c ] Pr [ b k | c ]k=1,…,N
     $k=1,\dots ,N$

     $k=1,\ldots,N$Pr[bk|a∩c]=Pr[a|bk∩c]Pr[bk|c]∑Nn=1Pr[a|bn∩c]Pr[bn|c]

     $Pr[b_k|a\cap c]=\frac{Pr[a|b_k\cap c]Pr[b_k|c]}{\sum _{n=1}^{N}Pr[a|b_n\cap c]Pr[b_n|c]}$

     $\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

그것들은 Kolmogorov의 논리 진술을 암시하며, 특별한 경우로 볼 수 있습니다.

베이지안 관점에 대한 나의 해석에서 모든 것은 항상 (암시 적으로) 우리의 믿음과 지식에 달려 있습니다.

다음은 Beck (2010)과 비교 한 것입니다. 확률 논리에 따른 베이지안 시스템 식별

베이지안 관점

확률은 지정된 정보를 기반으로 한 진술의 타당성 척도입니다.

1. 확률 분포는 시스템과 현상에 대한 그럴듯한 지식의 상태를 나타내며 , 시스템의 고유 한 속성이 아닙니다.
2. 모델의 확률은 세트의 다른 모델에 대한 그 가능성 의 척도입니다 .
3. 이것은 정보의 누락으로 인한 불확실성을 실용적으로 나타내는데 이는 자연의 고유 한 무작위성으로 인한 것이라는 주장이 없습니다.

빈번한 관점

확률은 장기적 으로 내재 된 무작위 사건 의 상대적 발생 빈도입니다 .

1. 확률 분포는 무작위 현상의 고유 속성입니다.
2. 제한된 범위, 예를 들어 모형 확률에 대한 의미가 없습니다.
3. 고유 한 임의성 이 가정되지만 증명할 수는 없습니다.

상기 공리에서 Kolmogorov의 공리를 도출하는 방법

다음의 [Beck, James L. “Basian 시스템 식별 확률 논리에 기초한”섹션 2.2 구조 제어 및 건강 모니터링 17.7 (2010) : 825-847]에 요약되어 있습니다.

다음에서는 유한 집합 X 의 서브 세트 A 에 대한 확률 측정 을 사용합니다 .Pr(A)

$Pr(A)$

$\Pr(A)$A

$A$

$A$X

$X$

$X$

1. [K1] : Pr(A)≥0,∀A⊂X
   $Pr(A)\ge 0,\mathrm{\forall }A\subset X$

   $\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$

2. [K2] : Pr(X)=1
   $Pr(X)=1$

   $\Pr(X) = 1$

3. [K3] : A 와 B 가 분리 된 경우 Pr(A∪B)=Pr(A)+Pr(B),∀A,B⊂X
   $Pr(A\cup B)=Pr(A)+Pr(B),\mathrm{\forall }A,B\subset X$

   $\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$A

   $A$

   $A$B

   $B$

   $B$

propositon의 도입 확률 이론의 공리 [벡 2010]에서 파생 (K1-K3)하기 위해서 국가는 X ∈ X 및 지정 확률 모델 X . [Beck, 2010]은 Pr ( A ) = Pr [ x ∈ A | π ] .π

$\pi$

$\pi$x∈X

$x\in X$

$x\in X$x

$x$

$x$Pr(A)=Pr[x∈A|π]

$Pr(A)=Pr[x\in A|\pi ]$

$\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

• P1은 및 c = π 인 K1을 의미합니다.b={x∈A}
  $b=\{x\in A\}$

  $b=\{x\in A\}$c=π

  $c=\pi$

  $c=\pi$

• Pr[x∈X|π]=1
  $Pr[x\in X|\pi ]=1$

  $\Pr[x\in X|\pi]=1$π

  $\pi$

  $\pi$x∈X

  $x\in X$

  $x\in X$

• A
  $A$

  $A$B

  $B$

  $B$x∈A

  $x\in A$

  $x\in A$x∈B

  $x\in B$

  $x\in B$ are mutually exclusive. Therefore, K3: Pr(x∈A∪B|π)=Pr(x∈A|π)+Pr(x∈B|π)

  $Pr(x\in A\cup B|\pi )=Pr(x\in A|\pi )+Pr(x\in B|\pi )$

  $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

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