일반화에 대해 설명하는 방법 . 롤이 독립적이기 때문에 [ 1 .. N ] 의 모든 순열은 바이어스 된 다이에서도 동일하게 사용됩니다. 따라서 마지막 N 롤과 같은 순열을보고 마지막 롤을 출력 할 때까지 계속 롤링 할 수 있습니다 .N=2

$N=2$

$N=2$[1..N]

$[\mathrm{1..}N]$

$[1..N]$N

$N$

$N$

일반적인 분석은 까다 롭습니다. 그러나, 주어진 단계에서 순열을 볼 확률이 작기 때문에 (그리고 이전과 이후의 단계와 무관하기 때문에) 까다로운 롤의 예상 롤 수는 에서 빠르게 증가한다는 것이 분명 합니다. 그것은 인 이상 0 고정을 위해 N 절차가 거의 확실하므로 종료하지만 (즉, 확률 1 ).N

$N$

$N$0

$0$

$0$N

$N$

$N$1

$1$

$1$

고정 경우 , 합산 되는 마지막 파릭-벡터 집합에 대해 마르코프 체인을 구성 하여 마지막 롤 의 결과를 요약하고 도달 할 때까지 예상 단계 수를 결정할 수 있습니다. 처음으로 . 이것은 Parikh-vector를 공유하는 모든 순열이 동일하게 가능하기 때문에 충분합니다. 이런 식으로 체인과 계산이 더 간단합니다.N

$N$

$N$≤N

$\le N$

$\leq N$N

$N$

$N$(1,…,1)

$(1,\dots ,1)$

$(1,\dots,1)$

우리는 상태에있는 가정 와 . 그런 다음 요소 i 를 얻을 확률 (즉, 다음 롤은 i )은 항상∑ n i = 1 v i ≤ Nv=(v1,…,vN)

$v=(v_1,\dots ,v_N)$

$v=(v_1,\dots,v_N)$∑ni=1vi≤N

$\sum _{i=1}^n{v}_i\le N$

$\sum_{i=1}^n v_i \leq N$i

$i$

$i$i

$i$

$i$

.홍보[ 이득  i ] = p나는

${\displaystyle \mathrm{홍보}[\text{이득 }\mathrm{나는}]={피}_{\mathrm{나는}}}$

$\qquad\displaystyle \operatorname{Pr}[\text{gain } i] = p_i$

한편, 이력에서 원소 i 를 떨어 뜨릴 가능성 은 다음과 같이 주어진다.나는

$\mathrm{나는}$

$i$

홍보V[ 드롭  i ] = v나는엔

${\displaystyle {\mathrm{홍보}}_V[\text{하락 }\mathrm{나는}]=\frac{V_{\mathrm{나는}}}{엔}}$

$\qquad\displaystyle \operatorname{Pr}_v[\text{drop } i] = \frac{v_i}{N}$

마다 (그리고 0 , 그렇지) 정확하게 Parikh 벡터의 모든 순열 때문에 V는 똑같이 보인다. 이러한 확률은 독립적이므로 (롤이 독립적이므로) 다음과 같이 전이 확률을 계산할 수 있습니다.∑엔나는 = 1V나는= N

$\sum _{\mathrm{나는}=1}^{엔}{V}_{\mathrm{나는}}=엔$

$\sum_{i=1}^n v_i = N$0

$0$

$0$V

$V$

$v$

홍보[ v → ( v1, … , v제이+ 1 , … , v엔) ]= { Pr[ 게인  j ]0, ∑ v < N,  다른,홍보[ v → ( v1, … , v나는− 1 , … v제이+ 1 , … , v엔) ]= { 0홍보V[ 드롭  i ] ⋅ Pr[ 게인  j ], ∑ v < N∨ v나는= 0 ∨ v제이= N,  다른 과홍보[ v → v ]= { 0∑V나는≠ 0홍보V[ 드롭  i ] ⋅ Pr[gain i],∑v<N, else;

$\begin{array}{rl}& \mathrm{Pr}[v\to (v_1,\dots ,v_j+1,\dots ,v_N)]\\ & =\{\begin{array}{ll}\mathrm{Pr}[\text{gain }j]& ,\sum v<N\\ 0& ,\text{ else}\end{array},\\ & \mathrm{Pr}[v\to (v_1,\dots ,v_i-1,\dots v_j+1,\dots ,v_N)]\\ & =\{\begin{array}{ll}0& ,\sum v<N\vee v_i=0\vee v_j=N\\ {\mathrm{Pr}}_v[\text{drop }i]\cdot \mathrm{Pr}[\text{gain }j]& ,\text{ else}\end{array}\text{ and}\\ & \mathrm{Pr}[v\to v]\\ & =\{\begin{array}{ll}0& ,\sum v<N\\ \sum _{v_i\ne 0}{\mathrm{Pr}}_v[\text{drop }i]\cdot \mathrm{Pr}[\text{gain }i]& ,\text{ else}\end{array};\end{array}$

$\qquad\begin{align*} &\operatorname{Pr}[v \to (v_1,\dots,v_j + 1,\dots,v_N)] \\ &\qquad=\begin{cases} \operatorname{Pr}[\text{gain } j] &, \sum v < N \\ 0 &#038;, \text{ else} \end{cases}\;,\\[3ex] &#038;\operatorname{Pr}[v \to (v_1,\dots,v_i - 1, \dots v_j + 1,\dots,v_N)] \\ &#038;\qquad=\begin{cases} 0 &#038;, \sum v < N \lor v_i=0 \lor v_j=N \\ \operatorname{Pr}_v[\text{drop } i] \cdot \operatorname{Pr}[\text{gain } j] &#038;, \text{ else} \end{cases}\;\text{ and}\\[3ex] &#038;\operatorname{Pr}[v \to v] \\ &#038;\qquad=\begin{cases} 0 &#038;, \sum v < N \\ \sum_{v_i \neq 0} \operatorname{Pr}_v[\text{drop } i] \cdot \operatorname{Pr}[\text{gain } i] &#038;, \text{ else} \end{cases}\;; \end{align*}$

다른 모든 전이 확률은 0입니다. 단일 흡수 상태는 [ 1. N ] 의 모든 순열의 파리 크 벡터 인 입니다.(1,…,1)

$(1,\dots ,1)$

$(1,\dots,1)$[1..N]

$[\mathrm{1..}N]$

$[1..N]$

들면 결과 마르코프 chain¹은N=2

$N=2$

$N=2$

^{[ 출처 ]}

흡수 될 때까지 예상 단계 수

Esteps=2p0p1⋅2+∑i≥3(pi−10p1+pi−11p0)⋅i=1−p0+p20p0−p20,

${\displaystyle \mathbb{E}\text{steps}=2p_0{p}_1\cdot 2+\sum _{i\ge 3}(p_0^{i-1}{p}_1+p_1^{i-1}{p}_0)\cdot i=\frac{1-p_0+p_0^2}{p_0-p_0^2},}$

$\qquad\displaystyle \mathbb{E}\,\text{steps} = 2 p_0 p_1 \cdot 2 + \sum_{i\geq 3} (p_0^{i-1}p_1 + p_1^{i-1}p_0)\cdot i = \frac{1 - p_0 + p_0^2}{p_0-p_0^2}\;,$

단순화를 위해 . 지금, 제안대로, p 0 = 1p1=1−p0

$p_1=1-p_0$

$p_1=1-p_0$일부ϵ∈[0,1의 경우 2 ±ϵp0=12±ϵ

$p_0=\frac{1}{2}\pm ϵ$

$p_0 = \frac{1}{2} \pm \epsilon$다음,ϵ∈[0,12)

$ϵ\in [0,\frac{1}{2})$

$\epsilon \in [0,\frac{1}{2})$

.Esteps=3+4ϵ21−4ϵ2

${\displaystyle \mathbb{E}\text{steps}=\frac{3+4{ϵ}^2}{1-4{ϵ}^2}}$

$\qquad\displaystyle \mathbb{E}\,\text{steps} = \frac{3 + 4\epsilon^2}{1 - 4\epsilon^2}$

들면 균일 분포 (최상의 경우) I algebra² 컴퓨터로 계산을 수행했다; 상태 공간이 빠르게 폭발하므로 더 큰 값을 평가하기가 어렵습니다. 결과 (위로 반올림)는N≤6

$N\le 6$

$N \leq 6$

^{플롯 쇼 N 의 함수로서의 단계 ; 왼쪽에는 정규, 오른쪽에는 로그 플롯이 있습니다.Esteps}

$\mathbb{E}\text{steps}$

$\mathbb{E}\,\text{steps}$N

$N$

$N$

성장은 기하 급수적으로 보이지만 값이 너무 작아서 좋은 추정치를 제공 할 수 없습니다.

의 섭동에 대한 안정성에 대해서는 우리가 상황을 볼 수 N = 3 :pi

$p_i$

$p_i$N=3

$N=3$

$N=3$

^{플롯은 E를 보여줍니다. 의 함수로서 페이지 0 및 페이지 1 ; 당연히 p 2 = 1 - p 0 - p 1 입니다.Esteps}

$\mathbb{E}\text{steps}$

$\mathbb{E}\,\text{steps}$p0

$p_0$

$p_0$p1

$p_1$

$p_1$p2=1−p0−p1

$p_2=1-p_0-p_1$

$p_2 = 1 - p_0 - p_1$

더 비슷한 사진을 가정하면 (커널도에 대한 상징적 인 결과를 계산 충돌하는 N = 4 ) 단계의 예상 수는 상당히 모두를위한 안정적인 있지만 가장 극단적 인 선택 (거의 모든 또는 없음 질량 일부에서 보인다 P 전 ).N

$N$

$N$N=4

$N=4$

$N=4$pi

$p_i$

$p_i$

비교 를 위해, 공정한 동전을 시뮬레이션하고 최종적으로 비트 단위 거부 샘플링을 수행하기 위해이를 사용하여 바이어스 동전을 시뮬레이션합니다 (예 : 가능한 한 골고루 다이를 0 과 1 에 할당 하여).ϵ

$ϵ$

$\epsilon$0

$0$

$0$1

$1$

$1$

2⌈logN⌉⋅3+4ϵ21−4ϵ2

${\displaystyle 2\lceil \log N\rceil \cdot \frac{3+4{ϵ}^2}{1-4{ϵ}^2}}$

$\qquad\displaystyle 2\lceil \log N \rceil \cdot \frac{3 + 4\epsilon^2}{1 - 4\epsilon^2}$

다이 롤 기대-아마 당신은 그것에 충실해야합니다.

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1. 체인이 흡수하기 때문에 회색으로 표시된 모서리는 절대로 이송되지 않으며 계산에 영향을 미치지 않습니다. 나는 단지 완전성과 설명을 목적으로 그것들을 포함시킵니다.(11)
   $(11)$

   $(11)$

2. Mathematica 10에서의 구현 ( 노트북 , 베어 소스 ); 죄송합니다. 이런 종류의 문제에 대해 제가 아는 것입니다.

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답변