요약 : 트릭 은 숨겨진 매개 변수 (종료 부록 B의 , 여기)에 대해 균일 ( Jeffreys ) 을 가정하는 베이지안 접근 방식 인 것으로 보입니다 . θzμ

$z_{\mu }$

$z_\mu$θ

$\theta$

$\theta$

나는 논문의 부록 B에 주어진 방정식을 얻기 위해 베이지안 스타일의 접근법이있을 수 있다고 생각합니다.

내가 알기로 실험은 통계 요약됩니다 . 샘플링 분포 의 평균 는 알려져 있지 않지만 귀무 가설 사라집니다 . θ θ ∣z∼Nθ,1

$z\sim {\mathrm{N}}_{\theta ,1}$

$z\sim\mathrm{N}_{\theta,1}$θ

$\theta$

$\theta$θ∣H0=0

$\theta \mid H_0=0$

$\theta\mid{}H_0=0$

실험적으로 관찰 된 통계량 호출하십시오 . 그런 다음 이전에 "균일 한"( 부적절한 ) 것으로 가정 하면 베이지안 후부는 입니다. 그런 다음 를 소외하여 원래 샘플링 분포를 업데이트하면 그 후부는 됩니다. (이중 분산은 가우시안의 컨볼 루션 때문입니다.)θ~1θ | Z ~N의 Z ,1θ | Z의 Z | Z ~N의 Z ,2z^∣θ∼Nθ,1

$\hat{z}\mid \theta \sim {\mathrm{N}}_{\theta ,1}$

$\hat{z}\mid\theta\sim\mathrm{N}_{\theta,1}$θ∼1

$\theta \sim 1$

$\theta\sim1$θ∣z^∼Nz^,1

$\theta \mid \hat{z}\sim {\mathrm{N}}_{\hat{z},1}$

$\theta\mid\hat{z}\sim\mathrm{N}_{\hat{z},1}$θ∣z^

$\theta \mid \hat{z}$

$\theta\mid\hat{z}$z∣z^∼Nz^,2

$z\mid \hat{z}\sim {\mathrm{N}}_{\hat{z},2}$

$z\mid\hat{z}\sim\mathrm{N}_{\hat{z},2}$

수학적으로 적어도 이것은 작동하는 것 같습니다. 그리고 요소가 "매직 적으로"방정식 B2에서 방정식 B3으로 어떻게 나타나는지 설명합니다 .12√

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

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토론

이 결과를 표준 귀무 가설 검정 프레임 워크와 어떻게 조화시킬 수 있습니까? 한 가지 가능한 해석은 다음과 같습니다.

표준 프레임 워크에서, 귀무 가설은 어떤 의미에서는 "기본"입니다 (예 : 우리는 "무 귀한 거부"라고 말합니다). 위의 베이지안 문맥에서 이것은 을 선호 하는 비 균일 이전의 것입니다 . 이것을 로한다면, 분산 는 이전의 불확실성을 나타냅니다.θ=0

$\theta =0$

$\theta=0$θ∼N0,λ2

$\theta \sim {\mathrm{N}}_{0,{\lambda }^2}$

$\theta\sim\mathrm{N}_{0,\lambda^2}$λ2

${\lambda }^2$

$\lambda^2$

위의 분석을 통해이를 수행하면

으로부터 우리는 위의 분석을 복구 할 수 있습니다. 그러나 한계 "posteriors"는 null, 및 이므로 표준 결과 복구합니다 .

$$\theta\sim\mathrm{N}_{0,\lambda^2} \implies \theta\mid\hat{z}\sim\mathrm{N}_{\delta^2\hat{z},\delta^2} \,,\, z\mid\hat{z}\sim\mathrm{N}_{\delta^2\hat{z},1+\delta^2} \,,\, \delta^2\equiv\tfrac{1}{1+\lambda^{-2}}\in[0,1]$$ λ→∞

$\lambda \to \mathrm{\infty }$

$\lambda\to\infty$λ→0

$\lambda \to 0$

$\lambda\to{0}$θ∣z^∼N0,0

$\theta \mid \hat{z}\sim {\mathrm{N}}_{0,0}$

$\theta\mid\hat{z}\sim\mathrm{N}_{0,0}$z∣z^∼N0,1

$z\mid \hat{z}\sim {\mathrm{N}}_{0,1}$

$z\mid\hat{z}\sim\mathrm{N}_{0,1}$p∣z^∼U0,1

$p\mid \hat{z}\sim {\mathrm{U}}_{0,1}$

${p}\mid{\hat{z}}\sim\mathrm{U}_{0,1}$

(반복 된 연구의 경우, 위의 내용은 베이지안 업데이트와 메타 분석에 대한 "전통적인" 방법 의 의미에 대한 흥미로운 질문을 제시합니다 . 메타 분석의 주제에 대해서는 완전히 무지합니다!)

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부록

의견에서 요청한대로 여기에 비교를위한 도표가 있습니다. 이것은 논문에서 공식을 비교적 간단하게 적용한 것입니다. 그러나 나는 모호성을 보장하기 위해 이것을 쓸 것이다.

하자 통계 용 한면 P 값을 나타내고 , 그리고하여 (후방) CDF를 나타낸다 . 부록의 방정식 B3은

여기서 는 표준 일반 CDF입니다. 해당 밀도는

여기서 는 표준 일반 PDF이고 는 CDF 공식. 마지막으로 하면p

$p$

$p$z

$z$

$z$F[u]≡Pr[p≤u∣z^]

$F[u]\equiv Pr[p\le u\mid \hat{z}]$

$F[u]\equiv\Pr\big[\,p\leq{u}\mid{\hat{z}}\,\big]$

$$F[p]=1-\Phi\left[\tfrac{1}{\sqrt{2}}\left(z[p]-\hat{z}\right)\right] \,,\, z[p]=\Phi^{-1}[1-p]$$ Φ[]

$\mathrm{\Phi }[]$

$\Phi[\,\,]$

$$f\big[p\big]\equiv{F^\prime}\big[p\big]=\frac{\phi\Big[(z-\hat{z})/\sqrt{2}\,\Big]}{\sqrt{2}\,\phi\big[z\big]}$$ ϕ[]

$\varphi []$

$\phi[\,\,]$z=z[p]

$z=z[p]$

$z=z[p]$p^

$\hat{p}$

$\hat{p}$ 해당하는 양측 p 값 이면
z^

$\hat{z}$

$\hat{z}$

$$\hat{z}=\Phi^{-1}\Big[1-\tfrac{\hat{p}}{2}\Big]$$

이 방정식을 사용하면 아래 그림 을 볼 수 있는데, 이는 질문에 인용 된 논문의 그림 5와 비교할 수 있어야 합니다.

(이것은 다음 Matlab 코드에 의해 생성되었습니다 . 여기서 실행 하십시오 .)

phat2=[1e-3,1e-2,5e-2,0.2]'; zhat=norminv(1-phat2/2);
np=1e3+1; p1=(1:np)/(np+1); z=norminv(1-p1);
p1pdf=normpdf((z-zhat)/sqrt(2))./(sqrt(2)*normpdf(z));
plot(p1,p1pdf,'LineWidth',1); axis([0,1,0,6]);
xlabel('p'); ylabel('PDF p|p_{obs}');
legend(arrayfun(@(p)sprintf('p_{obs} = %g',p),phat2,'uni',0));

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답변