이것은 왜 표준 편차로 나누는 것이 그러한 목표를 달성 할 수 있는지에 대해서는 명확하지 않습니다. 특히 변환 된 (표준화 된) 데이터를 “동일한 스케일”에 배치하는 이유는 무엇입니까? 이 질문은 더 심오한 문제 ( “작동 된”것, “수행 된”이 의미하는 것, 심지어 수학적으로 연결된 것 “)를 암시하지만 적어도이 절차가”작동하는 “이유에 대한보다 간단한 측면을 다루는 것이 합리적이었습니다. 즉, 본문에서 주장을 달성합니다.

공분산 행렬의 행 와 열 j 의 항목 은 i t h 와 j t h 변수 사이의 공분산 입니다. 대각선, 행 i 및 열 i에서 , 이것은 i t h 변수와 그 자체 의 공분산이됩니다 .i

$i$

$i$j

$j$

$j$ith

$i^{th}$

$i^{th}$jth

$j^{th}$

$j^{th}$i

$i$

$i$i

$i$

$i$ith

$i^{th}$

$i^{th}$ 변수.ith

$i^{th}$

$i^{th}$

변수 X i 와 j t h 변수 X j를 호출 해 봅시다 . 나는 이것들이 이미 0이되도록 중심에 있다고 가정합니다. 그 리콜 C O V ( X I , X의 J )ith

$i^{th}$

$i^{th}$Xi

$X_i$

$X_i$jth

$j^{th}$

$j^{th}$Xj

$X_j$

$X_j$

$$Cov(X_i, X_j) =\sigma_{X_i} \, \sigma_{X_j} \, Cor(X_i, X_j)$$

변수를 표준 편차로 나눔으로써 변수가 분산되도록 변수를 표준화 할 수 있습니다. 표준화 할 때 일반적으로 평균을 먼저 뺍니다. 그러나 이미 중간에 있다고 가정하여 해당 단계를 건너 뛸 수 있습니다. 하자 Zi=XiσXi

$Z_i=\frac{X_i}{{\sigma }_{X_i}}$

$Z_i = \frac{X_i}{\sigma_{X_i}}$ 그리고 왜 분산이 하나인지를 알기 위해서는

$$Var(Z_i) = Var\left(\frac{X_i}{\sigma_{X_i}}\right) = \frac{1}{\sigma_{X_i}^2}Var(X_i) = \frac{1}{\sigma_{X_i}^2} \sigma_{X_i}^2 = 1$$

Zj

$Z_j$

$Z_j$i

$i$

$i$j

$j$

$j$

$$Cov(Z_i, Z_j) =\sigma_{Z_i} \, \sigma_{Z_j} \, Cor(Z_i, Z_j) = Cor(Z_i, Z_j)$$

Cor(Zi,Zj)

$Cor(Z_i,Z_j)$

$Cor(Z_i, Z_j)$Cor(Xi,Xj)

$Cor(X_i,X_j)$

$Cor(X_i, X_j)$

Cov(Zi,Zi)=Var(Zi)=1

$Cov(Z_i,Z_i)=Var(Z_i)=1$

$Cov(Z_i, Z_i) = Var(Z_i) = 1$우리가 예상 한 것처럼 전체 대각선이 대각선으로 채워집니다. 이런 의미에서 데이터는 이제 “동일한 규모”입니다. 최소한 한계가 평균 0과 분산 (및 표준 편차)으로 시작하기 위해 한계 분포가 매우 유사하게 보일 것입니다. 한 변수의 가변성이 다른 변수를 늪으로 빠뜨리는 경우는 더 이상 없습니다. 물론 다른 스프레드 단위로 나 have 수도 있습니다. 차이는 치수 불일치로 인해 특히 좋지 않은 선택이었습니다 (예를 들어, 변수 중 하나의 단위를 미터에서 킬로미터로 변경 한 경우 어떤 일이 있었는지 생각해보십시오). 중간 절대 편차 (또는 MAD의 적절한 배수)와 같은 것표준 편차의 강력한 추정량으로 사용하려는 경우)이 더 적합 할 수 있습니다. 그러나 여전히 대각선을 대각선으로 바꾸지 않습니다.

결론은 표준화 된 데이터의 공분산 행렬에서 작동하는 방법이 원래 데이터의 상관 행렬을 사용한다는 것입니다. PCA에서 사용하기를 원하는 것은 상관 관계 또는 공분산에 대한 PCA를 참조하십시오 .

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