나는 일부 결과를 이해하려고 노력하고 있으며 비선형 문제를 해결하는 것에 대한 일반적인 의견에 감사드립니다.

피셔 방정식 (비선형 반응-확산 PDE),

$$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$$

신중한 형태로

$$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$$

여기서 은 미분 연산자이고 은 이산화 스텐실입니다.L

$\mathit{L}$

$\boldsymbol{L}$u=(uj−1,uj,uj+1)

$\mathit{u}=(u_{j-1},u_j,u_{j+1})$

$\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$

방법

안정성과 무제한 시간 단계가 필요하기 때문에 암시 적 체계를 적용하고 싶습니다. 이 목적을 위해 -method를 사용하고 있습니다 ( 은 완전히 암시 적 체계를 제공하고 는 사다리꼴 또는 “Crank-Nicolson”체계를 제공함),θ = 1 θ = 0.5θ

$\theta$

$\theta$θ=1

$\theta =1$

$\theta=1$θ=0.5

$\theta =0.5$

$\theta=0.5$

$$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$$

그러나 비선형 문제의 경우 방정식을 선형 형식으로 작성할 수 없으므로이 작업을 수행 할 수 없습니다.

이 문제를 해결하기 위해 두 가지 수치 적 접근 방식을 탐색했습니다.

1. IMEX 방법

   유‘제이= θ L un + 1+ ( 1 − θ ) L u엔θ – 방법의 확산 용어+ β유엔제이( 1 − U엔제이)완전히 명시적인 반응 용어

   $$u_j^{\mathrm{\prime }}=\underset{\theta -\text{method diffusion term}}{\underbrace{\theta \mathit{L}{\mathit{u}}^{\mathit{n}\mathbf{+}\mathbf{1}}+(1-\theta )\mathit{L}{\mathit{u}}^{\mathit{n}}}}+\underset{\text{Fully explicit reaction term}}{\underbrace{\beta u_j^n(1-u_j^n)}}$$

   $$u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$$

   가장 분명한 경로는 반응 항의 비선형 부분을 무시하고 반응 항을 가장 좋은 값, 즉 이전 시간 단계의 값으로 업데이트하는 것입니다. IMEX 방법이 발생합니다.

2. 뉴턴 솔버

$$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$$

Newton-Raphson 반복을 사용하여 전체 방법 방정식을 풀면 미래 솔루션 변수를 찾을 수 있습니다. 여기서 k 는 반복 인덱스 ( k ≥ 0 )이고 A n 은 F ( w n ) 의 야 코비 행렬입니다 . 여기서 반복 변수에 ν k 기호를 사용하여 실시간 시점 u n 에서 방정식의 해와 구별됩니다 . Jacobian이 모든 반복으로 업데이트되지 않기 때문에 이것은 실제로 수정 된 Newton 솔버입니다.θ

$\theta$

$\theta$케이

$k$

$k$k ≥ 0

$k\ge 0$

$k\geq0$ㅏ엔

$A^n$

$A^{n}$에프( 승엔)

$F(w^n)$

$F(w^n)$ν케이

${\nu }^k$

$\nu^{k}$유엔

$u^n$

$u^n$

결과

위의 결과는 상당히 큰 시간 단계에 대해 계산되며 시간 단계 접근 방식과 전체 뉴턴 반복 솔버의 차이를 보여줍니다.

내가 이해하지 못하는 것 :

1. 시간-스텝핑 방법이 “OK”를하는 것에 놀랐지 만 시간이 지남에 따라 분석 솔루션보다 뒤쳐집니다. ( NB 더 작은 시간 단계를 선택한 경우 시간 단계 접근 방식은 결과를 분석 모델에 제공합니다). 시간 단계 접근 방식이 왜 비선형 방정식에 합리적인 결과를 제공합니까?

2. 뉴턴 모델은 훨씬 나아졌지 만 시간이 지남에 따라 분석 모델을 이끌 기 시작합니다. 왜 시간이 지남에 따라 뉴턴 접근법의 정확도가 떨어 집니까? 정확성을 향상시킬 수 있습니까?

3. 많은 반복 후에 수치 모델과 분석 모델이 갈라지기 시작하는 일반적인 특징이있는 이유는 무엇입니까? 시간 단계가 너무 커서 이것이 항상 발생합니까?

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답변