1) 고유 분해는 그다지 도움이되지 않습니다. Cholesky 인수 분해보다 확실히 수치 적으로 안정적입니다. 행렬이 잘못 조정되었거나 거의 특이하지 않거나 조건 수가 많은 경우에 유용합니다. 따라서 고유 분해를 사용하면 문제에 대한 해결책을 얻을 수 있습니다. 그러나 이것이 올바른 솔루션 이라는 보장은 거의 없습니다 . 솔직히 를 명시 적으로 뒤집 으면 손상이 이미 완료됩니다. 성형 단지 문제를 악화 수 있습니다. 고유 분해는 전투에서이기는 데 도움이되지만 전쟁은 가장 확실하게졌습니다.X T Σ − 1 XΣ

$\mathrm{\Sigma }$

$\Sigma$XTΣ−1X

$X^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}X$

$X^T \Sigma^{-1} X$

2) 문제의 세부 사항을 알지 못하면 이것이 내가하는 일입니다. 먼저 되도록 에서 Cholesky 인수 분해를 수행하십시오 . 그런 다음 되도록 에서 QR 인수 분해를 수행하십시오 . 정방향 치환을 사용하여 를 계산하십시오 . 명시 적으로 뒤집지 마십시오 . 그러면

여기에서 원하는 오른쪽을 풀 수 있습니다. 그러나 다시Σ

$\mathrm{\Sigma }$

$\Sigma$Σ=LLT

$\mathrm{\Sigma }=L{L}^T$

$\Sigma = L L^T$L−1X

$L^{-1}X$

$L^{-1} X$L−1X=QR

$L^{-1}X=QR$

$L^{-1} X = QR$L−1X

$L^{-1}X$

$L^{-1} X$L

$L$

$L$

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X & = & X^T (L L^T)^{-1} X \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} X \\ & = & (L^{-1} X)^T (L^{-1} X) \\ & = & (Q R)^T Q R \\ & = & R^T Q^T Q T \\ & = & R^T R \end{array}$$ R

$R$

$R$(또는 ). 필요에 따라 정방향 및 역방향으로 대체하십시오.RTR

$R^{T}R$

$R^T R$

BTW, 나는 당신의 방정식의 우변이 궁금합니다. 당신은 그것이 라고 썼습니다 . 당신은 아니에요 확신 ? 그럴 경우 오른쪽에서 비슷한 트릭을 사용할 수 있습니다.

그리고 당신이 제공 할 수 쿠데타 드 그레이스 당신이 해결하기 위해 갈 때 :
XTΣY

$X^T\mathrm{\Sigma }Y$

$X^T \Sigma Y$XTΣ−1Y

$X^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}Y$

$X^T \Sigma^{-1} Y$ β X T Σ – 1 X β = X T Σ – 1 Y R T R β = R T Q T L – 1 Y R β = Q T L – 1 Y β

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} Y & = & X^T (L L^T)^{-1} Y \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} Y \\ & = & (L^{-1} X)^T L^{-1} Y \\ & = & (Q R)^T L^{-1} Y \\ & = & R^T Q^T L^{-1} Y \end{array}$$ β

$\beta$

$\beta$ R

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X \beta & = & X^T \Sigma^{-1} Y \\ R^T R \beta & = & R^T Q^T L^{-1} Y \\ R \beta & = & Q^T L^{-1} Y \\ \beta & = & R^{-1} Q^T L^{-1} Y \end{array}$$ R

$R$

$R$마지막 단계 로요? 그것은 단지 역 대체적이다. 🙂

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