정수 에서 CDF 과 같게 하고 다른 곳 부분적으로 상수를 유지하고 모든 기준에 따라 CDF가 적용되도록합니다. 기대는F

$F$

$F$1−1/n

$1-1/n$

$1-1/n$n=1,2,…,

$n=1,2,\dots ,$

$n=1,2,\ldots,$

$$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

분기합니다. 이런 의미에서 첫 순간 (따라서 더 높은 순간)은 무한합니다. (자세한 설명은 끝에있는 설명을 참조하십시오.)

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이 표기법이 불편하면n=1,2,3,…,

$n=1,2,3,\dots ,$

$n=1,2,3,\ldots,$

$${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$$

각 항이 양수이고

$$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$$

기대는

$$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

분기합니다.

답을 표현하는이 방법은 모든 솔루션이 그러한 다양한 계열에 의해 얻어진 다는 것을 분명히합니다 . 실제로 양의 값 의 일부 하위 집합에서 확률이 합산되도록 분포를 지원 하려면 계열이 분산 될 것으로 기대합니다. 그것을 표현하는 것, 즉x1,x2,…,xn,…,

$x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots ,$

$x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$p1,p2,…

$p_1,p_2,\dots$

$p_1, p_2, \ldots$

$$(a_n) = (x_n p_n),$$

발산 부분 합이 있어야합니다.

반대로, 음수가 아닌 숫자의 모든 발산 계열 은 발산 기대 값을 갖는 많은 개별 양수 분포와 관련이 있습니다. (an)

$(a_n)$

$(a_n)$ ( N ) ( X의 N ) ( P는 N ) Q , N = 2 – N Y N = 2 , N N , N = 1 , 2 , … . Ω y n Ω = { ω 1 , ω 2 , … , ω i , … } , Ω 예를 들어 이 주어지면 다음 알고리즘을 적용하여 시퀀스 및 을 결정할 수 있습니다 . 대해 및 을 설정하여 시작하십시오이러한 방식으로 발생하는 모든 집합으로 를 정의 하고 해당 요소를 하고 에 대한 확률 분포를 정의하십시오. 으로(an)

$(a_n)$

$(a_n)$(xn)

$(x_n)$

$(x_n)$(pn)

$(p_n)$

$(p_n)$qn=2−n

$q_n=2^{-n}$

$q_n = 2^{-n}$yn=2nan

$y_n=2^n{a}_n$

$y_n = 2^n a_n$n=1,2,….

$n=1,2,\dots .$

$n=1, 2, \ldots.$Ω

$\mathrm{\Omega }$

$\Omega$yn

$y_n$

$y_n$Ω = { ω1, ω2, … , ω나는, … } ,

$\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_i,\dots \},$

$\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$Ω

$\mathrm{\Omega }$

$\Omega$

$$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$$

의 합 때문 작동 의 합과 동일 이다 하고 대부분에서 긍정적 인 요소의 셀 수있는 번호가 있습니다.pn

$p_n$

$p_n$qn,

$q_n,$

$q_n,$1,

$1,$

$1,$Ω

$\mathrm{\Omega }$

$\Omega$

예로서, 일련 분명 발산한다. 알고리즘은(an)=(1,1/2,1,1/2,…)

$(a_n)=(1,1/2,1,1/2,\dots )$

$(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

$$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$$

따라서

$$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$$

의 홀수 양의 제곱의 집합 이며2

$2$

$2$

$$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$$

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무한하고 존재하지 않는 순간에 대하여

모든 값이 양수이면 “정의되지 않은”모멘트와 같은 것은 없습니다. 모멘트가 모두 존재하지만이 답변의 시작 부분에서 볼 수 있듯이 분산 합계 (또는 적분)의 의미에서 무한대가 될 수 있습니다.

일반적으로 모든 모멘트는 양의 랜덤 변수에 대해 정의됩니다.이를 표현하는 합계 또는 적분은 절대적으로 수렴하거나 분기됩니다 ( “무한”입니다). 반면 에 양수 및 음수 값을 취하는 변수에 대해서는 모멘트가 정의되지 않을 수 있습니다. 레베 그 적분의 정의에 따라 모멘트는 포지티브 부분의 모멘트와 네거티브 부분의 절대 값 모멘트의 차이이기 때문입니다. 둘 다 무한하면 수렴은 절대적이지 않으며 무한대에서 무한대를 빼는 문제에 직면합니다.

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답변