질문에 대답하기 위해 : 평활 밀도를 사용할 수 있습니다. 그러나 당신은 할 필요가 없습니다. Jarle Tufto의 답변에는 사용중인 분해가 있습니다. 그러나 다른 사람들이 있습니다.

칼만 재귀 사용

여기에서는

$$f(y_1, \ldots, y_n) = f(y_1)\prod_{i=2}^nf(y_i|y_1, \ldots, y_{i-1}).$$

그러나 평균과 분산이 일반적으로 확률 분포를 완전히 정의하는 것은 아닙니다. 다음은 분포 에서 조건부 우도 필터링 분포를 이동하는 데 사용하는 분해입니다. :f ( y i | y 1 , … , y i – 1 )에프( x난 − 1| 와이1, … , y난 − 1)

$\mathrm{에프}({\mathrm{엑스}}_{\mathrm{나는}-1}|{\mathrm{와이}}_1,\dots ,{\mathrm{와이}}_{\mathrm{나는}-1})$

$f(x_{i-1}|y_1,\ldots,y_{i-1})$에프( y나는| 와이1, … , y난 − 1)

$\mathrm{에프}({\mathrm{와이}}_{\mathrm{나는}}|{\mathrm{와이}}_1,\dots ,{\mathrm{와이}}_{\mathrm{나는}-1})$

$f(y_i|y_1,\ldots,y_{i-1})$

$$f(y_i|y_1, \ldots, y_{i-1}) = \iint f(y_i|x_i)f(x_i|x_{i-1})f(x_{i-1}|y_1, \ldots, y_{i-1})dx_{i} dx_{i-1} \tag{1}.$$

여기서 은 모델의 상태 전이 밀도 … 일부이고 는 다시 모델의 관찰 밀도입니다. 귀하의 질문에 이것을 및 로 작성하십시오. 그건 같은거야.f ( y i | x i ) x t + 1 = F x t + v t + 1 y t = H x t + A z t + w t에프( x나는| 엑스난 − 1)

$\mathrm{에프}({\mathrm{엑스}}_{\mathrm{나는}}|{\mathrm{엑스}}_{\mathrm{나는}-1})$

$f(x_i|x_{i-1})$에프( y나는| 엑스나는)

$\mathrm{에프}({\mathrm{와이}}_{\mathrm{나는}}|{\mathrm{엑스}}_{\mathrm{나는}})$

$f(y_i|x_i)$엑스t + 1= F엑스티+ vt + 1

${\mathrm{엑스}}_{티+1}=\mathrm{에프}{\mathrm{엑스}}_{티}+V_{티+1}$

$x_{t+1}=Fx_{t}+v_{t+1}$와이티= H엑스티+ 의 Z티+ 승티

${\mathrm{와이}}_{티}=H{\mathrm{엑스}}_{티}+ㅏ{지}_{티}+{승}_{티}$

$y_{t}=Hx_{t}+Az_{t}+w_{t}$

한 단계 앞선 상태 예측 분포를 얻으면 그것은 . 다시 통합하면 (1)을 완전히 얻습니다. 당신은 당신의 질문에 그 밀도를 완전히 기록합니다. 같은 것입니다.∫에프( x나는| 엑스난 − 1) f( x난 − 1| 와이1, … , y난 − 1) d엑스난 − 1

$\int \mathrm{에프}({\mathrm{엑스}}_{\mathrm{나는}}|{\mathrm{엑스}}_{\mathrm{나는}-1})\mathrm{에프}({\mathrm{엑스}}_{\mathrm{나는}-1}|{\mathrm{와이}}_1,\dots ,{\mathrm{와이}}_{\mathrm{나는}-1})디{\mathrm{엑스}}_{\mathrm{나는}-1}$

$\int f(x_i|x_{i-1})f(x_{i-1}|y_1, \ldots, y_{i-1}) dx_{i-1}$

여기서는 확률 분포의 분해와 모형에 대한 가정 만 사용합니다. 이 가능성 계산은 정확한 계산입니다. 이 작업을 더 나쁘게 수행하는 데 사용할 수있는 재량은 없습니다.

EM 알고리즘 사용

내 지식으로는, 이런 종류의 상태 공간 모델에서 가능성을 직접 평가하는 다른 방법은 없습니다. 그러나 다른 기능을 평가하여 최대한 가능성 추정을 수행 할 수 있습니다. EM 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 기대 단계 (E-Step)에서

여기f ( y 1 , … , y n , x 1 , … , x n )

$$\int f(x_1, \ldots, x_n|y_1,\ldots y_n) \log f(y_1,\ldots,y_n,x_1, \ldots,x_n) dx_{1:n} = E_{smooth}[\log f(y_1,\ldots,y_n,x_1, \ldots,x_n)].$$ 에프( y1, … , y엔, x1, … , x엔)

$\mathrm{에프}({\mathrm{와이}}_1,\dots ,{\mathrm{와이}}_{엔},{\mathrm{엑스}}_1,\dots ,{\mathrm{엑스}}_{엔})$

$f(y_1,\ldots,y_n,x_1, \ldots,x_n)$“완전한 데이터”일 가능성이 있으며, 조인트 평활 밀도와 관련하여 그 로그를 기대하고 있습니다. 이 완전한 데이터 가능성에 대한 로그를 취하고, 용어를 합계로 나누고, 기대 연산자의 선형성 때문에 한계 평활 분포 (예 : 평활도 분포)에 대한 기대치를 얻는 경우가 종종 발생합니다. 당신은 당신의 질문에 언급).

다른 것들

나는 EM이 가능성을 극대화하기위한 “보다 안정적인”방법이라는 곳에서 읽었지만,이 점이 실제로 잘 논증되는 것을 본 적이없고이 단어 “stable”이 전혀 정의 된 것도 본 적이 없지만 실제로 이것을 더 조사하지 않았습니다. 이 알고리즘들 중 어느 것도 로컬 / 글로벌 최대치 문제를 해결하지 못합니다. 나는 개인적으로 칼만을 습관적으로 더 자주 사용하는 경향이 있습니다.

평활화 된 상태 추정치가 일반적으로 필터링보다 작은 분산을 갖는 것이 사실이므로 이에 대해 약간의 직관을 갖는 것이 옳지 만 실제로 상태를 사용하지는 않습니다. 최대화하려는 가능성은 상태의 기능이 아닙니다.

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