칼만 필터의 가능성이 더 부드러운 결과 대신 필터 결과를 사용하여 계산되는 이유는 무엇입니까? 있습니다. 시스템은 상태 방정식 및

나는 칼만 필터를 매우 표준적인 방법으로 사용하고 있습니다. 시스템은 상태 방정식 및 관측 방정식 됩니다.

xt+1=Fxt+vt+1

yt=Hxt+Azt+wt

교과서는 Kalman 필터를 적용하고 “일단 예측” (또는 “필터링 된 추정치”)을 얻은 후에이를 사용하여 우도 함수를 계산해야한다고 가르칩니다 .

x^t|t1

fyt|It1,zt(yt|It1,zt)=det[2π(HPt|t1H+R)]12exp{12(ytHx^t|t1Azt)(HPt|t1H+R)1(ytHx^t|t1Azt)}

내 질문은 다음과 같습니다. 왜 우도 함수 는 “평활 추정” \ hat {x} _ {t | T}이 아닌 “필터링 된 추정”

x^t|t1

하여 계산 됩니까? 아니다 \ 모자 {X} _ {t | T} 상태 벡터의 더 나은 추정?

x^t|T

x^t|T



답변

질문에 대답하기 위해 : 평활 밀도를 사용할 수 있습니다. 그러나 당신은 할 필요가 없습니다. Jarle Tufto의 답변에는 사용중인 분해가 있습니다. 그러나 다른 사람들이 있습니다.

칼만 재귀 사용

여기에서는

에프(와이1,,와이)=에프(와이1)나는=2에프(와이나는|와이1,,와이나는1).

그러나 평균과 분산이 일반적으로 확률 분포를 완전히 정의하는 것은 아닙니다. 다음은 분포 에서 조건부 우도 필터링 분포를 이동하는 데 사용하는 분해입니다. :f ( y i | y 1 , , y i 1 )

에프(엑스나는1|와이1,,와이나는1)

에프(와이나는|와이1,,와이나는1)

(1)에프(와이나는|와이1,,와이나는1)=에프(와이나는|엑스나는)에프(엑스나는|엑스나는1)에프(엑스나는1|와이1,,와이나는1)엑스나는엑스나는1.

여기서 은 모델의 상태 전이 밀도 … 일부이고 는 다시 모델의 관찰 밀도입니다. 귀하의 질문에 이것을 및 로 작성하십시오. 그건 같은거야.f ( y i | x i ) x t + 1 = F x t + v t + 1 y t = H x t + A z t + w t

에프(엑스나는|엑스나는1)

에프(와이나는|엑스나는)

엑스+1=에프엑스+V+1

와이=H엑스++

한 단계 앞선 상태 예측 분포를 얻으면 그것은 . 다시 통합하면 (1)을 완전히 얻습니다. 당신은 당신의 질문에 그 밀도를 완전히 기록합니다. 같은 것입니다.

에프(엑스나는|엑스나는1)에프(엑스나는1|와이1,,와이나는1)엑스나는1

여기서는 확률 분포의 분해와 모형에 대한 가정 만 사용합니다. 이 가능성 계산은 정확한 계산입니다. 이 작업을 더 나쁘게 수행하는 데 사용할 수있는 재량은 없습니다.

EM 알고리즘 사용

내 지식으로는, 이런 종류의 상태 공간 모델에서 가능성을 직접 평가하는 다른 방법은 없습니다. 그러나 다른 기능을 평가하여 최대한 가능성 추정을 수행 할 수 있습니다. EM 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 기대 단계 (E-Step)에서

여기f ( y 1 , , y n , x 1 , , x n )

에프(엑스1,,엑스|와이1,와이)로그에프(와이1,,와이,엑스1,,엑스)엑스1:=이자형에스미디엄영형영형h[로그에프(와이1,,와이,엑스1,,엑스)].

에프(와이1,,와이,엑스1,,엑스)

“완전한 데이터”일 가능성이 있으며, 조인트 평활 밀도와 관련하여 그 로그를 기대하고 있습니다. 이 완전한 데이터 가능성에 대한 로그를 취하고, 용어를 합계로 나누고, 기대 연산자의 선형성 때문에 한계 평활 분포 (예 : 평활도 분포)에 대한 기대치를 얻는 경우가 종종 발생합니다. 당신은 당신의 질문에 언급).

다른 것들

나는 EM이 가능성을 극대화하기위한 “보다 안정적인”방법이라는 곳에서 읽었지만,이 점이 실제로 잘 논증되는 것을 본 적이없고이 단어 “stable”이 전혀 정의 된 것도 본 적이 없지만 실제로 이것을 더 조사하지 않았습니다. 이 알고리즘들 중 어느 것도 로컬 / 글로벌 최대치 문제를 해결하지 못합니다. 나는 개인적으로 칼만을 습관적으로 더 자주 사용하는 경향이 있습니다.

평활화 된 상태 추정치가 일반적으로 필터링보다 작은 분산을 갖는 것이 사실이므로 이에 대해 약간의 직관을 갖는 것이 옳지 만 실제로 상태를 사용하지는 않습니다. 최대화하려는 가능성은 상태의 기능이 아닙니다.


답변

일반적으로 제품 규칙에 따라 정확한 가능성은

상태 공간 모델의 가정 에서 과거 관측치에 대한 각 의 기대 벡터 및 분산 행렬은 로 표현 될 수 있습니다.


y i E ( y i | y 1 , , y i 1 )

에프(와이1,,와이)=에프(와이1)나는=2에프(와이나는|와이1,,와이나는1).

와이나는

V a r ( y i | y 1 , , y i 1 )

이자형(와이나는|와이1,,와이나는1)=이자형(H엑스++|와이1,,와이나는1)=H이자형(엑스|와이1,,와이나는1)++이자형=H엑스^|1+,

V아르 자형(와이나는|와이1,,와이나는1)=V아르 자형(H엑스++|와이1,,와이나는1)=HV아르 자형(엑스|와이1,,와이나는1)H+V아르 자형=H|1H+아르 자형.


따라서 이것은 평활화 된 추정값을 계산하지 않고도 정확한 가능성을 제공합니다.

물론 미지의 상태에 대한 더 나은 추정치 인 평활화 된 추정치를 사용할 수 있지만, 이것은 우도 함수를 제공하지 않습니다. 실제로 의 관측 값을 사용하여 자체 예상 값을 추정하므로 결과 추정치에 약간의 편차가 생길 수 있습니다.

와이나는


답변

스무딩 분포가 사용되지 않는 (일반적으로) 효율성에 대한 “왜”에 대한 더 나은 대답은 생각합니다. 원칙적으로 (매끄러운) 한계 가능성을 다음과 같이 탈퇴 식으로 계산하는 것이 간단합니다. 관측치 j를 삭제하고 나머지 데이터에 대해 Kalman을 더 부드럽게 실행하십시오. 그런 다음 보이지 않는 y (j)의 가능성을 평가하십시오. 모든 j에 대해 이것을 반복하십시오. 로그 우도를 요약하십시오. 이보다 빠른 버전은 (랜덤 화) 보류 샘플 블록 (예 : k- 폴드 CV)과 함께 작동합니다. 이 체계에는 필요에 따라 측정 업데이트를 임의로 건너 뛸 수있는보다 일반적인 칼만 필터 / 스무더 구현이 필요합니다. 역방향 / 스무딩 패스는 측정 (RTS 알고리즘)에 액세스하지 않으며 동일하게 유지됩니다.

시계열이 “충분히 긴”경우 필터링 가능성이 초기 과도 현상을 “번 오프”하므로이 작업을 수행하는 데 유용한 이점이 거의 없습니다. 그러나 데이터 집합이 짧으면 값 비싼 평활 가능성이 그만한 가치가 있습니다. 고정 지연이 더 매끄러 울수록 중간 솔루션이 될 수 있습니다.


답변