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의문:

AC ⁰ 의 명시 적 함수에 대해 가장 잘 알려진 공식 크기 하한은 무엇입니까 ? 하한이 인 명시 적 기능이 있습니까? $Ω (n^{2})$
$Ω (n^{2})$
$\Omega(n^2)$

배경:

대부분의 하한과 마찬가지로 수식 크기의 하한은 구하기 어렵습니다. 표준 범용 게이트 세트 {AND, OR, NOT}에 대한 공식 크기 하한에 관심이 있습니다.

이 게이트 세트에서 명시 적 함수에 대해 가장 잘 알려진 공식 크기 하한은 Andreev에 의해 정의 된 함수에 대해 입니다. 이 범위는 Håstad에 의해 보여졌으며 Andreev의 의 하한을 개선했습니다 . 또 다른 명시적인 하한 은 패리티 함수에 대한 Khrapchenko의 하한입니다. $Ω (n^{3 - o (1)})$

Ω (n^{3 - o (1)})

$\Omega(n^{3-o(1)})$ $Ω (n^{2.5 - o (1)})$

Ω (n^{2.5 - o (1)})

$\Omega(n^{2.5-o(1)})$ $Ω (n^{2})$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

그러나이 두 기능은 AC ^0에 없습니다 . AC ⁰ 에서 2 차 (또는 더 나은) 하한을 갖는 명시 적 함수를 알고 있는지 궁금합니다 . 내가 알고있는 최선의 경계는 Nechiporuk가 보여주는 것처럼 요소 구별 기능에 대한 하한입니다. 요소 구별 기능은 AC ⁰ 에 있으므로 보다 나은 명시 적 AC ⁰ 기능 , 바람직하게는 에 대한 하한을 찾고 있습니다. $Ω (n^{2} / \log n)$

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$ $Ω (n^{2} / \log n)$

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$ $Ω (n^{2})$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

더 읽을 거리 :

이 주제에 대한 훌륭한 자료는 Stasys Jukna의 “Boolean Function Complexity : Advances and Frontiers”입니다. 책 초안은 그의 웹 사이트에서 무료로 구할 수 있습니다.

답변

좋은 질문입니다! Khrapchenko는 함수에 대해 2 차 하한을 제공 할 수 없습니다 . 그의 하한은 사실 적어도 평균 감도의 제곱입니다. 모든 함수 는 다 로그 평균 감도를 갖습니다. Subbotovskaya-Andreev는 또한 그들이 사용하는 주장 (임의 제한으로 인해 훨씬 더 작은 공식이 발생 함)이 큰 회로 크기를 강요하는 이유이기 때문에 그러한 기능을 제공 할 수 없습니다 . Hastad ‘s Switching Lemma (잘 모르겠 음, 직관). 유일한 희망은 Nechiporuk입니다. 그러나 그의 주장은 이상을 줄 수 없다 $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $n^{2} / \log n$

n^{2} / \log n

$n^2/\log n$ 정보 이론적 이유에 의해. 그렇다면 모든 것이 2 차 (또는 더 작은) 크기의 공식을 가질 수 있습니까? 나는 그것을 믿지 않지만 빨리 반례를 찾을 수 없었습니다. $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$

$2 n$

2 n

$2n$ $n \times n$

n \times n

$n\times n$ $G$

G

$G$ $V = {1, \dots, 2 n}$

V = {1, \dots, 2 n}

$V=\{1,\ldots,2n\}$ $a$

a

$a$ $i$

i

$i$ $j$

j

$j$ $i \leq n$

i \leq n

$i\leq n$ $j > n$

j > n

$j>n$ $a$

a

$a$ $i$

i

$i$ $j$

j

$j$ $G$

G

$G$ $G$

G

$G$ $n^{ϵ}$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$ $Σ_{3}$

Σ_{3}

$\Sigma_3$ $n^{1 / 2}$

n^{1 / 2}

$n^{1/2}$ $2 m = 2 \log n$

2 m = 2 \log n

$2m=2\log n$ $n^{ϵ}$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

답변

증거 복잡성에 대한 장을보고자하는 Kaveh에게 감사합니다!

$A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $n^{k}$

n^{k}

$n^k$ $k$

k

$k$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $\exp (n^{k})$

\exp (n^{k})

$\exp(n^k)$ $k$

k

$k$ $\exp (t \log n)$

\exp (t \log n)

$\exp(t\log n)$ $t$

t

$t$ .

$n^{2}$

n^{2}

$n^2$ $n$

n

$n$ $F (X) = f (g (X_{1}), \dots, g (X_{b}))$

F (X) = f (g (X_{1}), \dots, g (X_{b}))

$F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ $b = \log n$

b = \log n

$b=\log n$ $g$

g

$g$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $n / b$

n / b

$n/b$ $f$

f

$f$ $b$

b

$b$ $f$

f

$f$ $g$

g

$g$ $k$

k

$k$ $X$

X

$X$ $g$

g

$g$ $g$

g

$g$ $2$

2

$2$ $3 / 2$

3 / 2

$3/2$ $F (X)$

F (X)

$F(X)$ $n^{3} / k^{2}$

n^{3} / k^{2}

$n^3/k^2$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $n^{1 / d}$

n^{1 / d}

$n^{1/d}$ $d \geq 2$

d \geq 2

$d\geq 2$ $n^{2}$

n^{2}

$n^2$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $n^{1 / 2}$

n^{1 / 2}

$n^{1/2}$ 변수. 그러한 기능을 2보다 큰 깊이로 검색해야합니다.

$F (X)$

F (X)

$F(X)$ $n^{2} / \log n$

n^{2} / \log n

$n^2/\log n$ $n / b$

n / b

$n/b$

$F (X)$

F (X)

$F(X)$ $s$

s

$s$ $X_{i}$

X_{i}

$X_i$ $g (X_{i})$

g (X_{i})

$g(X_i)$ $n / b$

n / b

$n/b$ $s$

s

$s$ $n / b = n / \log n$

n / b = n / \log n

$n/b=n/\log n$ $2^{b} / \log b = n / \log \log n$

2^{b} / \log b = n / \log \log n

$2^b/\log b=n/\log\log n$ $f$

f

$f$ $s \geq n^{2 - o (1)}$

s \geq n^{2 - o (1)}

$s\geq n^{2-o(1)}$

$n^{2}$

n^{2}

$n^2$ $(d + 1)$

(d + 1)

$(d+1)$ $d$

d

$d$

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